Розкладання вектора на складові

Будь вектор можна представити як суму декількох векторів.

Наприклад, переміщення тіла можна представити як результат декількох послідовних переміщень, що переводять тіло з того ж початкового в той же кінцеве положення. Заміну одного вектора векторної сумою кількох інших називають розкладанням вектора на складові. Складові вектора, звичайно, теж вектори.

Рис. 44. Розкладання вектора АВ, в якому задано тільки напрямок АС однієї складової. Вектор АВ може бути представлений як суми векторів AA1 і АВ1, АА2 і АВ2, АА3 і AB3 і т. Д.

Розкладання вектора на складові можна зробити нескінченним числом способів, точно так само як будь-яку скалярную величину можна розкласти нескінченним числом способів на доданки.

Можна, наприклад, розкласти вектор за двома цими напрямками. Тоді розкладається вектор буде служити діагоналлю паралелограма, а із заданими напрямками складових співпадуть сторони паралелограма (див., Наприклад, рис. 43).

Якщо задати напрямок тільки однієї складової, то завдання про розкладання вектора не матиме ніякого певної відповіді; на рис. 44 ми бачимо, що можна побудувати скільки завгодно паралелограмів із заданою діагоналлю (розкладається вектор) і заданим напрямом одного боку (напрямок однією зі складових).

Вправа. 24.1. Літак має приземлитися в пункті А, що лежить в 300 км на північний захід від аеродрому вильоту, але попередньо він повинен скинути вимпел над аеродромом В, лежачим в 400 км на південний схід від аеродрому вильоту. Чому дорівнює довжина переміщення АВ?

Найчастіше виробляють розкладання векторів за напрямками осей будь-якої певної прямокутної системи координат (рис. 45). Вибравши певну систему координат, можна охарактеризувати вектор величиною і знаком його складових, вже не вказуючи їх напрямки.

Знак вибирають позитивним, якщо напрямок складової збігається з позитивним напрямком відповідної осі координат, і негативним, якщо ці напрямки протилежні. Величину складової, взяту зі своїм знаком, називають проекцією вектора на напрямок відповідної осі. Проекція вектора – скаляр.

Нехай будь-яка точка рухається по прямій. Виберемо яку-небудь певну систему координат Оху і спроектуємо рухому точку на осі координат (рис. 46). На малюнку показані проекції Мх і Му точки, що займає в даний момент положення М, При русі точки будуть рухатися і її проекції. Якщо точка М здійснила переміщення АВ, то за той же час її проекції здійснили переміщення АХВХ, АуВу по відповідним осях. З побудови видно, що проекції переміщення рухомої точки М дорівнюють переміщенням її проекцій Мх і Му по осях координат. Якщо точка рухалася рівномірно, то проекції також рухалися рівномірно. Розділивши переміщення точки і її проекцій на час t руху точки, знайдемо швидкості v, vx і vy точки М і її проекцій. Можна показати, що проекція швидкості точки дорівнює швидкості руху її проекції. Точно так само можна показати, що при нерівномірному русі точки по прямій проекції її миттєвої швидкості і проекції її прискорення дорівнюють миттєвим швидкості і прискорення її проекцій. Назад, якщо відомі переміщення, швидкості або прискорення проекцій рухається точки на осі координат, то можна знайти вектор переміщення, швидкості або прискорення, приписуючи проекція напрямки відповідних осей координат і складаючи отримані складові шуканого вектора за правилом паралелограма.

Таким чином, замість того, щоб розглядати рух точки в довільному напрямку, ми завжди можемо розглядати рух тільки уздовж певних прямих-осей координат. У ряді випадків вибір осей підказується самими умовами завдання. Наприклад, вивчаючи рух кинутого тіла, зручно вибрати осі координат по вертикалі і по горизонталі.

Посилання на основну публікацію