Рівномірний рух точки по колу

Рух по колу є досить поширеним в навколишньому світі – при обертанні будь-якого твердого тіла навколо фіксованої осі, всі крапки цього тіла рухаються по колах. Так як всі окружності подібні, то достатньо описати рух однієї з них, щоб описати обертання всього твердого тіла. Крім того, рівномірний рух по колу є найпростішим криволінійним рухом.

Нехай матеріальна точка рухається з постійною за модулем швидкістю υ по колу радіуса R. При такому русі напрям вектора швидкості υ⃗ υ → постійно змінюється (рис. 22), отже, як і при будь криволинейном русі, рух по колу є рух з прискоренням.

Позначимо положення точки, що рухається по колу радіуса R, в деякий момент часу A0. Вектор швидкості υ⃗ 0 υ → 0 в цей момент спрямований по дотичній до кола, тобто перпендикулярно радіусу OA0. За час Δt частинка перемістилася в точку A1, її швидкість υ⃗ 1 υ → 1 змінила напрям і стала перпендикулярна радіусу OA1 (але модуль її залишився незмінним | υ⃗ 0 | = | υ⃗ 1 | = υ | υ → 0 | = | υ → 1 | = υ). Для того щоб обчислити зміну швидкості, сумісний початку векторів υ⃗ 0 υ → 0 і υ⃗ 1 υ → 1. Тоді трикутник, утворений векторами швидкостей подібний трикутнику OA0A1.

Щоб повністю визначити вектор прискорення, необхідно з’ясувати його напрямок. Зауважимо, що при малій величині Δt, кут між векторами υ⃗ 0 υ → 0 і υ⃗ 1 υ → 1 вкрай малий, тому можна вважати, що вектор зміни швидкості спрямований перпендикулярно [1] як вектору υ⃗ 0 υ → 0, так і вектору υ⃗ 1 υ → 1. Отже, вектор прискорення в даному випадку спрямований до центру кола.

Вектор прискорення точки при її рівномірному русі по колу спрямований до центру кола, а його модуль дорівнює υ2R υ2R. Таке прискорення називається доцентровим.

Як ми вже зазначали раніше, матеріальної точка, що рухається по заданій лінії, володіє одним ступенем свободи, тому її положення однозначно визначається однією координатою. У випадку руху точки по колу в якості такої єдиною координати зручно вибрати кут повороту.

Математичне відступ – Радіанна міра кута.

Градусна міра вимірювання кутів виявляється не дуже зручною при описі механічного руху. Тому у фізиці частіше використовується інша одиниця виміру кутів. Нагадаємо, кутом називається частина площини, обмежена двома променями. Побудуємо всередині кута кілька дуг кіл різних радіусів, центри яких збігаються з вершиною кута. Довжина дуги S, укладеної всередині кута, звичайно, залежить від її радіуса, проте відношення довжини дуги до її радіуса залежить тільки від величини кута s1r1 = s2r2 = s3r3 s1r1 = s2r2 = s3r3, тому це ставлення може служити мірою кута.

Основні переваги радіанної заходи полягають в тому, що, по-перше, одиниця виміру радіан є безрозмірною величиною (відношення двох довжин), по-друге, дуже просто виражається довжина дуги через радіус і величину кута s = rφ. Пов’язуючи міру кута з довжиною дуги, ми можемо розглядати кути довільної величини – великі ніж кут 2π (360 °). Таким кутах відповідає дуга кілька разів охоплює цілу окружність – так, наприклад, кут повороту φ = 10π дорівнює 5 повним оборотам. Це дуже зручно при описі обертального руху – чим більше обертається тіло, тим більший кут його повороту. Звичайно, при русі по колу матеріальна точка регулярно проходить через одні й ті самі положення в просторі, тому, знаючи кут повороту, ми однозначно визначимо положення точки, але, знаючи тільки положення точки (наприклад, її декартові координати), ми не можемо однозначно визначити кут повороту, оскільки нам не відомо, скільки оборотів здійснила дана точка до даного моменту часу.

При русі точки її координата, тобто кут повороту, змінюється, стає функцією часу. Тому закон руху в цьому випадку представляється функцією φ (t) – залежно кута повороту від часу.

За аналогією з одновимірним рухом введемо поняття кутової швидкості.

При обертанні навколо фіксованої осі напрямок обертання може мати тільки два значення: «за годинниковою стрілкою» і «проти годинникової стрілки». Тому в цьому випадку можна говорити про двох знаках кутової швидкості, зазвичай, плюс, при обертанні проти часової стрілки і мінус при обертанні за годинниковою стрілкою. Для того щоб описати довільне обертання необхідно задати також вісь обертання. Виявляється зручним задавати вісь обертання за допомогою вектора, спрямованого вздовж цієї осі. Якщо поєднати ці дві характеристики обертання, то отримаємо вектор кутової швидкості ω⃗ ω →, напрямок якого збігається з віссю обертання, а модуль дорівнює визначеної нами кутової швидкості. Використовуючи математичну операцію векторного добутку, можна записати вираз для зв’язку між лінійною і кутовою швидкостями υ⃗ = ω⃗ × r⃗ υ → = ω → × r →. Аналогічно можна визначити вектор кутового прискорення ε⃗ = ω⃗ Δt ε → = ω → Δt, який визначає не тільки зміна швидкості обертання, але й зміна осі обертання.

Посилання на основну публікацію