Рівномірний рух по колу: доцентрове прискорення

Вектор швидкості тіла, що рухається по колу, безупинно змінює свій напрямок, і тому такий рух є прискореним.

Будь-який рух по криволінійній траєкторії відбувається з прискоренням, так як вектор швидкості, спрямований по дотичній до траєкторії, змінює свій напрямок з часом. Прикладами криволінійного руху можуть служити рух планет навколо Сонця і електронів навколо атомного ядра. За криволінійній траєкторії рухається автомобіль, що повертає на перехресті, і літак, що заходить на посадку.

Найпростішим криволінійним рухом є рівномірний рух по колу, при якому модуль швидкості залишається постійним, а його напрямок змінюється. Щоб знайти величину і напрям вектора прискорення при рівномірному русі по колу з центром у точці О, відзначимо на ній дві близько розташовані точки A і B (див. Верх рис. 6, ліворуч). Нехай, в точці А тіло було в момент часу t, а в точці В – у момент часу t + Dt. На тому ж малюнку виходять з точок А і В намальовані вектори vA і vB, відповідні швидкостям тіла в даних точках.

Прискорення a, як відомо (див. § 4), дорівнює відношенню зміни вектора швидкості Dv, що стався за інтервал часу Dt, до величини цього інтервалу, звідки випливає, що Dv = a.Dt. У нашому випадку Dv = vA – vB. Справа вгорі на рис.6 показано, як, використовуючи правило трикутника, знайти Dv по відомим vA і vB. При зближенні точок Б і А напрямок наближається до напрямку, перпендикулярному до, а значить стає спрямованим до центру кола, по якій рухається тіло. Такий рух називають рухом з доцентрові прискоренням.

Так як vA і vB перпендикулярні ОА і ОВ, відповідно, а модулі vA і vB рівні між собою, то трикутники ОАВ і О’A’B ‘подібні, як трикутник з рівними кутами (див. Верх рис.6). Тому справедливо наступне відношення між довжинами сторін цих трикутників:

Для близько розташованих точок А і В довжину відрізка АВ можна вважати рівною довжині відповідної дуги АВ кола, а довжина цієї дуги кола дорівнює добутку модуля швидкості, v на Dt. Підставляючи в (6.1) A’B ‘= a.Dt, АВ = v.Dt, О’A’ = v, ОА = R (радіус кола), отримуємо після нескладних перетворень наступний вираз для величини центростремительного прискорення:

Будь-яке криволінійне рух на коротких ділянках траєкторії завжди можна розглядати як рух по малій дузі кола з радіусом, найбільше підходить для даної ділянки траєкторії (див. R1, R2 і R3 в нижній частині рис.6). Цей радіус називають радіусом кривизни траєкторії в даній її точці. Якщо тіло рухається рівномірно (модуль швидкості, v не змінюється) по криволінійній траєкторії, то за формулою 6.2 і відомим радіусах кривизни можна обчислити доцентрове прискорення, спрямоване до центру кривизни траєкторії в будь-якій її точці.

Так як вектор центростремительного прискорення завжди спрямований перпендикулярно дотичній до траєкторії, то напрям вектора прискорення при криволінійному русі ніколи не збігається з напрямком дотичної до траєкторії. Тому вектор прискорення в цих випадках представляють у вигляді суми двох взаємно перпендикулярних складових: тангенциальной, aт (спрямованої по дотичній до траєкторії) і нормальною, aн (спрямованої перпендикулярно до дотичної). При цьому aт відповідає зміні модуля швидкості руху, а aн – зміни напрямку його вектора.

Питання для повторення:

  • · Куди направлено доцентрове прискорення, і як воно залежить від швидкості і радіуса кола?
  • · Чому рівні модулі тангенціального і нормального прискорення при рівномірному русі по колу?
Посилання на основну публікацію