Простий гармонійний рух

Простим гармонійним рухом називається рух, при якому сила опору руху пропорційна переміщенню.

Просте гармонійне рух виконується нескінченно довго, оскільки не враховуються сили тертя або будь-які інші сили. Звичайно ж, це ідеалізований варіант, який не зустрічається в повсякденному житті.

Як приклад простого гармонійного руху розглянемо рух вантажу, прикріпленого до пружини.

У початковий момент часу, коли на вантаж не діють ніякі сили, вантаж і пружина знаходяться в стані спокою (рівноваги).

Якщо вантаж відтягнути вниз, розтягнувши тим самим пружину, а потім відпустити, то під виникла в пружині пружною силі опору, пружина почне стискатися, а вантаж – рухатися вгору, прагнучи повернутися в стан рівноваги.

Коли вантаж досягне точки положення рівноваги, він буде володіти якоюсь швидкістю (імпульсом), і продовжить рух далі, стискаючи пружину до деякого значення.

Після того, як сили уравновесятся, вантаж буде перебувати в крайній верхній точці, після чого пружна сила пружини змусить пружину розпрямлятися, і вантаж піде вниз, пройде точку положення рівноваги, і досягнувши крайньої нижньої точки, знову піде вгору.

У нашому експерименті ми не враховуємо силу тертя, тяжкості, опору повітря, вплив яких поступово призведе до того, що амплітуда руху вантажу буде ставати все менше і менше, поки вантаж і пружина замруть в точці рівноваги.

Якщо ж на систему вантаж + пружина будуть впливати ніякі сторонні сили, то коливання вантажу буде нескінченним.

Періодичні руху подібного роду називаються періодичними коливаннями, а відстань між крайніми положеннями тіла – амплітудою коливання.

Якщо розглянути рух пружини з вантажем в часі, то можна помітити, що вантаж рухається по синусоїдальної кривої.

гармонійне рух
Вантаж буде здійснювати періодичні рух вгору-вниз, щодо вихідного положення рівноваги, з амплітудою А. Поблизу точки рівноваги вантаж буде володіти максимальною швидкістю, а в точках амплітуди швидкість вантажу буде нульовий.

Аналогічну синусоидальную криву буде описувати вантаж, що рухається по колу, розташованої перпендикулярно площині екрану.

Якщо розташувати коло паралельно площині екрану, то становище вантажу можна визначити за формулою: x = A (cosΘ) (див. Малюнок нижче):

гармонійне рух
x – поточне зміщення вантажу по осі Х від положення рівноваги;
Θ – кут повороту вантажу при обертанні по колу;
А – амплітуда періодичного руху.
Якщо кутова швидкість руху вантажу по колу постійна, то:

Θ = ωt
x = A · cos (ωt)
Циклом обертального руху називається шлях, рівний довжині кола, пройдений вантажем.

Періодом обертального руху називається час проходження циклу.

На малюнках вище, повний цикл дорівнює руху вантажу від точки рівноваги (вихідне положення) до нижньої точки (А), потім, до верхньої точки (-А), і знову до точки рівноваги (повна синусоїда).

Таким чином, можна стверджувати, що за один повний цикл вантаж проходить кут, рівний 2π за період Т, при цьому кутова швидкість вантажу дорівнює:

 

ω = 2π / T

T = (2π) / ω

Однією з найважливіших характеристик періодичного руху є його частота – кількість циклів за одиницю часу: f = 1 / T

 

Як видно з формули, частота є величиною, обернено пропорційною періоду. Наприклад, якщо за 1 з об’єкт здійснює 10 повних циклів (обертів), то говорять, що об’єкт обертається з частотою 10 с-1 або з періодом 0,1 с.

 

Виходячи з вищесказаного, знаходимо зв’язок між частотою і кутовий швидкістю:

 

T = (2π) / ω

ω = 2π / T = 2πf

Кутову швидкість ω при описі періодічекіх рухів прийнято називати циклічною частотою.

 

Швидкість в простому гармонійному русі

При русі тіла по колу, його координата переміщення по осі Х визначається формулою:

 

x = A · cos (ωt)

x – поточне зміщення тіла від положення рівноваги по осі Х;

ω – кутова швидкість тіла при русі по колу;

A – амплітуда періодичного руху тіла.

В деякій точці з координатою х тіло буде мати певну швидкістю, яка буде залежати від часу. Спробуємо вивести формулу для визначення швидкості тіла в будь-який момент часу його руху по колу.

Кутова і тангенціальна швидкості пов’язані співвідношенням (див. Параметри обертального руху):

v = rω

У нашому випадку r = A:

v = Аω

Для визначення швидкості періодичних коливань тіла по осі Х знаходимо проекцію тангенциальной швидкості на вісь Х:

vx = v · sin (β) = -v · sin (Θ)

Підставами в формулу значення Θ = ωt і v = A · ω:

vx = -Aω · sin (ωt)

У простому гармонійному русі амплітуда швидкості Аv = Aω пов’язана з амплітудою переміщення Ax = A формулою: Av = -Axω.

Прискорення в простому гармонійному русі

Зі швидкістю обертового об’єкта ми розібралися, тепер спробуємо вивести формулу для визначення центростремительного прискорення (действовать будем аналогічно).

Згадаймо формулу, яка б пов’язала кутову швидкість і доцентрове прискорення (див. Параметри обертального руху):

a = rω2

Оскільки, для нашого випадку r = A, отримуємо:

a = Аω2

Обчислюємо проекцію центростремительного прискорення на вісь Х:

аx = a · cos (γ) = -a · cos (Θ)

Підставами в формулу значення Θ = ωt і a = A · ω2:

ax = -Aω2 · cos (ωt)

У простому гармонійному русі амплітуда прискорення Аа = Aω2 пов’язана з амплітудою переміщення Ax = A формулою: Aа = -Axω2.

Частота коливань вантажу на пружині

Із закону Гука і другого закону Ньютона випливає наступне рівність:

F = -kx

F = ma

ma = -kx

Переміщення і прискорення в простому гармонійному русі описуються формулами:

x = A · cos (ωt)

a = -Aω2cos (ωt)

Підставляємо вирази в попередню формулу:

m (-Aω2cos (ωt)) = -k (A · cos (ωt))

m · ω2 = k

ω = √ (k / m)

Згадуємо про циклі і періоді: ω = 2πf і ω = 2π / T:

f = (1 / 2π) · √ (k / m)

T = 2π · √ (m / k)

Застосуємо отримані теоретичні знання на практиці.

Початкові дані:

коефіцієнт пружності пружини k = 1 Н / м

до пружини прикріплений вантаж масою m = 1 кг

чому дорівнює період і частота коливань вантажу на пружині?

T = 2π · √ (m / k) = 6,28 · √ (1/1) = 6,28 з

f = (1 / 2π) · √ (k / m) = 0,16 Гц

Знаючи формули переміщення, швидкості і прискорення для простого гармонійного руху, можна обчислити координати, швидкість і прискорення вантажу на пружині в будь-який момент часу.

x = A · cos (ωt)

vx = -Aω · sin (ωt)

a = -Aω2cos (ωt)

Припустимо, що амплітуда А = 1 м.

Визначаємо циклічну частоту:

ω = √ (k / m) = 1 с-1

Тепер підставляємо числові значення в формули:

x = cos (t)

vx = -sin (t)

a = -cos (t)

Посилання на основну публікацію