Прогин і поворот перерізу балки

Розрахунок на жорсткість при вигині вимагає попереднього вивчення питання про переміщення поперечних перерізів.
Розглянемо просту консоль, навантажену на вільному кінці силою F, лінія дії якої збігається з однією з головних осей поперечного перерізу балки.
При деформації балки центри тяжкості її поперечних перерізів отримують лінійні переміщення, а самі перетину повертаються навколо своїх нейтральних осей. Допущення про малість переміщень дозволяє вважати, що напрямки лінійних переміщень перпендикулярні поздовжньої осі недеформованого бруса. Ці переміщення прийнято називати прогинами. Прогин довільного перетину позначається ν, а найбільший прогин – стріла прогину – f.
У багатьох випадках за експлуатаційними міркувань максимальні прогини балок обмежуються певною величиною – допускаються прогином vadm (fadm).
Допустимий прогин залежить від призначення споруди або машини.
Геометричне місце центрів тяжіння поперечного перерізу деформованого бруса, т. Е. Вісь вигнутого бруса, називається зігнутою віссю (або – частіше – пружною лінією). Ця лінія – плоска крива, що в силовій площині.
При повороті поперечні перерізи залишаються перпендикулярними зігнутої осі бруса.
Отже, кут повороту θ поперечного перерізу дорівнює куту дотичній до пружної лінії в даній точці і віссю недеформованого бруса.
Ордината пружної лінії і кут нахилу дотичної, проведеної до неї в цій точці, повністю визначають лінійне і кутове переміщення відповідного поперечного перерізу балки. Відшукання цих переміщень зводиться до дослідження форми пружної лінії.

Згинальний момент у довільному перерізі дорівнює:
Мx = RAz = Mz / l
Наближене диференціальне рівняння пружної лінії:
EIxv ” = Mz / l /.
Після першого інтегрування:
EIxv ‘= EIx θ = Mz2 / (2l) + C,
після другого:
EIxv = Mz2 / 6l + Cz + D.
Остаточно отримуємо наступне рівняння кутів повороту і пружної лінії:
EIxv ‘= EIxθ = Mz2 / 2l – Ml / 6
EIxv = Mz3 / 6l – Mlz / 6
З останнього співвідношення знайдемо прогин посередині прольоту, підставляючи в нього z = l / 2:
vz = l / 2 = – Ml / (16EI).

Посилання на основну публікацію