Потік рідини

Нехай нам відомо поле швидкостей рухомої рідини. Розрахуємо обсяг рідини, що протікає в одиницю часу через деяку уявну майданчик, часто цю характеристику називають витрата, або потік рідини Ф. Найпростіше вирішити дану задачу для однорідного потоку рідини.

Нехай уявна майданчик, площею ΔS розташована перпендикулярно однорідному потоку рідини, що рухається зі швидкістю V⃗ V → (рис. 104). За проміжок часу Δt через майданчик пройде рідина, що знаходиться на відстані меншій, ніж VΔt, обсяг цієї рідини буде дорівнює VΔt · ΔS. Отже, в одиницю часу, через майданчик пройде об’єм рідини рівний

ΔΦ = VΔS ΔΦ = VΔS. (1)
Нехай майданчик розташований під деяким кутом до набігаючого потоку рідини, який, як і раніше, вважаємо однорідним (рис. 105). Орієнтацію майданчики зручно задавати, вказуючи вектор нормалі до цієї майданчику n⃗ n → – модуль, якої дорівнює одиниці, а спрямований перпендикулярно майданчику. Нехай вектор швидкості рідини V⃗ V → утворює кут α з вектором нормалі n⃗ n → до майданчика, площею ΔS. Обсяг рідини, що протікає через майданчик за час Δt, може бути знайдений за формулою VΔtcos α · ΔS. Отже, витрата (потік) рідини через майданчик визначається виразами

ΔΦ = VcosαΔS = (V⃗ ⋅n⃗) ΔS = VnΔS ΔΦ = Vcos⁡αΔS = (V → ⋅n →) ΔS = VnΔS. (2)
де (V⃗ ⋅n⃗) = Vcosα (V → ⋅n →) = Vcos⁡α – скалярний добуток векторів V⃗ V → і n⃗ n →; Vn Vn – нормальна до майданчика компонента вектора швидкості. Відзначимо, що згідно з визначенням потік може бути як позитивним, так і негативним. Знак потоку визначається вибором напрямок нормалі до поверхні, врешті-решт, це свавілля, обумовлений вибором позитивного напрямку руху рідини.

Img Slob-10-7-106.jpg
Нарешті, в довільному поле швидкостей, об’єм рідини, що протікає в одиницю часу через довільну поверхню, підрахуємо наступним чином (рис. 106): розіб’ємо поверхню на малі майданчики ΔS (які будемо вважати плоскими), визначимо вектор швидкості рідини V⃗ V → на цьому майданчику (який в межах майданчика вважатимемо постійним), запишемо вираз (2) для витрати рідини через площадку, підсумуємо за всіма майданчикам розглянутої поверхні.

Φ = ΔΦ1 + ΔΦ2 + ΔΦ3 + … = ΣiΔΦi = ΣiVicosαiΔSi Φ = ΔΦ1 + ΔΦ2 + ΔΦ3 + … = ΣiΔΦi = ΣiVicos⁡αiΔSi. (3)
Ця сума називається потоком вектора швидкості через задану поверхню.

Подібну суму в деяких випадках можна обчислити досить просто, іноді її обчислення може бути громіздким. Зауважте, що швидкість рідини ми визначаємо в кожній точці (кажуть, що це точкова характеристика), потік через поверхню визначається рухом рідини в деякій частині простору, тому ця характеристика є інтегральною, що описує властивості руху узагальнено, усереднено для цієї частини простору.

Виявляється, що деякі закони руху рідини можуть бути сформульовані як теореми для потоку рідини. З використанням таких теорем можна вирішувати численні і складні завдання.

Наведемо приклади таких «очевидних» теорем.

«Перша теорема про потік нестисливої ​​рідини»: Якщо в деякій області рухомій нестисливої ​​рідини відсутні джерела і стоки, то потік рідини, через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю Ф = 0.

Звичайно, всі реальні рідини можуть змінювати свій об’єм, під дією зовнішніх сил. Однак зміна об’єму рідин зазвичай настільки мало, що ним можна знехтувати, саме таке наближення використовується в моделі нестисливої ​​рідини.

Для замкнутої поверхні позитивної приймається зовнішня нормаль, спрямована назовні від обсягу, обмеженого розглянутої поверхнею (рис. 107). У цьому випадку на одних частинах поверхні потік буде позитивним (там, де рідина витікає з обмеженого обсягу), на інших негативним (там, де рідина втікає всередину обсягу). Так як обсяг рідини усередині поверхні залишається постійним, то кількість рідини, що вливається всередину дорівнює кількості рідини витікає назовні – ось сенс сформульованої теореми.

Застосуємо цю теорему до рідини, що протікає по трубі змінного перерізу, зчленованої з двох труб, площа поперечного перерізу першого S1, другий S2 (рис. 108). В якості поверхні, до якої застосуємо теорему про потік рідини, виберемо частина бічної поверхні в місці зчленування і дві плоских майданчики перпендикулярних осі труби, що знаходяться в широкої і вузької частини. Швидкість рідини в широкій частині позначимо V1, а у вузькій частині V2. Потік через бічну поверхню дорівнює нулю Фb = 0, оскільки тут вектори швидкості і нормалі взаємно перпендикулярні, потік через майданчик в широкій частині труби дорівнює Ф1 = -V1S1 (знак мінус з’явився, так як вектори спрямовані в протилежні сторони), потік через майданчик в вузької частини труби Ф2 = V2S2. Таким чином, потік через обумовлену поверхню дорівнює

Φ = Φ1 + Φb + Φ2 = -V1S1 + V2S2 = 0 Φ = Φ1 + Φb + Φ2 = -V1S1 + V2S2 = 0.
З цього співвідношення отримаємо рівняння, що зв’язує швидкості в різних частинах труби V1S1 = V2S2. Це рівняння є окремим випадком рівняння нерозривності, сенс якого очевидний: «скільки влилося, стільки вилилося». Можна сказати, що теорема про потік нестисливої ​​рідини висловлює загальний випадок рівняння нерозривності.

Узагальнимо дану теорему. Нехай в деякій області рухомої рідини є джерела (і стоки) рідини. В якості характеристики джерела будемо використовувати його витрата q: кількість (обсяг) рідини, яка витікає з джерела в одиницю часу. Будемо вважати, що «стік» теж джерело, витрата якого від’ємний. З джерела рідина витікає, в сток стікає: математична ж характеристика для них єдина, але відрізняється знаком.

«Друга теорема про потік нестисливої ​​рідини»: Потік нестисливої ​​рідини через будь-яку замкнену поверхню дорівнює сумі видатків джерел, що знаходяться всередині поверхні Ф = q. Сенс і доведення цієї теореми аналогічні попередній: «скільки вливається, стільки ж виливається». Зауважимо, що якщо всередині розглянутої поверхні знаходяться джерела, то потік рідини через поверхню не залежить від розташування джерел. Підкреслимо – розподіл швидкостей (тобто швидкості в різних точках), звичайно, залежить від положення джерел, але сумарний потік через поверхню повністю визначається сумарною витратою джерел. Якщо ж джерело знаходиться поза розглянутої поверхні, то він змінює розподіл швидкостей, але не змінює сумарний потік через розглянуту поверхню.

Застосуємо цю теорему до наступної задачі. Нехай всередині дуже великого об’єму рідини знаходиться точкове ізотропний джерело, витрата якого дорівнює q. Знайдемо розподіл швидкостей рідини біля джерела. Ізотропним називається джерело, надсилає рідина в усі сторони однаково. Реально таке джерело можна представити у вигляді сфери з великим числом маленьких отворів, через які витікає рідина (рис. 109). Зрозуміло, що рідина буде розтікатися від джерела в усі сторони однаково, тобто изотропно. Іншими словами, швидкість течії рідини по модулю однакова у всіх точках, що знаходяться на однаковій відстані r від джерела, вектор швидкості спрямований у всіх точках радіально від джерела. Ці міркування дозволяють нам знайти залежність швидкості рідини від відстані до джерела.

В якості поверхні, до якої застосуємо теорему про потік, використовуємо сферу, радіусу r, в центрі якої знаходиться джерело (рис. 110). Виділимо на поверхні сфери невеликий майданчик площею ΔS. На поверхні сфери напрям вектора швидкості збігається з напрямком зовнішньої нормалі, тому потік рідини через цю площадку дорівнює ΔФ = VΔS. Далі, зауважимо, що на всіх дільницях сфери, модуль швидкості однаковий. Тому підсумовування потоків через всі ділянки сфери зводиться до підсумовування площ цих майданчиків. Таким чином, сумарний потік через поверхню сфери дорівнює добутку модуля швидкості на площу сфери Ф = 4πr2V. З іншого боку, по теоремі про потік, ця величина дорівнює витраті джерела Ф = q. Прирівнюючи ці вирази 4πr2V = q, одержимо шуканий вираз для швидкості рідини

V (r) = q4πr2 V (r) = q4πr2. (4)
Відзначимо, важливу обставину: сформульована теорема про потік рідини справедлива для будь-якої поверхні. Успіх у вирішенні цього завдання обумовлений правильним вибором [1] поверхні: у всіх точках сфери модуль швидкості постійний, а кут між швидкістю і нормаллю дорівнює нулю, саме ці обставини дозволили висловити сумарний потік простою формулою. Для іншої поверхні теорема про потік також буде виконуватися, але в різних точках цієї поверхні можуть бути різні швидкості, різні кути – тому отримати вираз для швидкості в різних точках неможливо.

Зауважимо, що сформульовані теореми не є математичними, так як вони явним чином використовують фізичні властивості рідини, а саме, її слабку стисливість (тобто можливістю використовувати модель нестисливої ​​рідини). Для газів, наведені теореми використовувати не можна, так об’єми газів можуть змінюватися в широких межах, тому для формулювання подібних теорем необхідно залучати фізичні властивості газів – наприклад, залежність щільності газу від температури і тиску.

Таким чином, ми показали, що поняття потоку виявляється корисним для опису векторного поля. Надалі ми будемо широко використовувати цю математичну конструкцію над векторним полем для опису фізичних властивостей інших реальних полів. У загальному випадку, якщо задано векторне поле, тобто в будь-якій точці простору з координатами (x, y, z) визначено певний вектор A⃗ A →, то потоком вектора через малу площадку ΔS з нормаллю n⃗ n → називається величина ΔΦA⃗ = (A⃗ ⋅ n⃗) ΔS = AΔScosα ΔΦA → = (A → ⋅n →) ΔS = AΔScos⁡α, де α – кут між вектором поля і нормаллю до майданчика.

У разі поля швидкостей руху нестисливої ​​рідини потік цього поля має наочний сенс – об’єм рідини, що протікає через поверхню в одиницю часу. Для інших полів знайти сенс потоку може бути важко, в таких випадках до потоку слід ставитися як до корисної математичної величиною.

Посилання на основну публікацію