Потенційна енергія гравітаційного тяжіння

Всі тіла, що володіють масою, притягуються один до одного з силою, що підкоряється закону всесвітнього тяжіння И.Ньютона. Отже, що притягуються тіла володіють енергією взаємодії.

Покажемо, що робота гравітаційних сил не залежить від форми траєкторії, тобто гравітаційні сили також є потенційними. Для цього розглянемо рух невеликого тіла масою m, що взаємодіє з іншим масивним тілом маси M, яке будемо вважати нерухомим [1] (рис. 90). Як випливає з закону Ньютона сила F⃗ F →, що діє між тілами, спрямована вздовж лінії, що з’єднує ці тіла. Тому при русі тіла m по дузі кола з центром в точці, де знаходиться тіло M, робота гравітаційної сили дорівнює нулю, так як вектори сил і переміщення весь час залишаються взаємно перпендикулярними. При русі вздовж відрізка, спрямованого до центру тіла M, вектори переміщення і сили паралельні, тому в цьому випадку при зближенні тіл робота гравітаційної сили позитивна, а при видаленні тіл – негативна. Далі зауважимо, що при радіальному русі робота сили тяжіння залежить тільки від початкового і кінцевого відстані між тілами. Так при русі по відрізках (див. Ріс.91) DE і D1E1 найдосконаліші роботи рівні, так як закони зміни сил від відстані на обох відрізках однакові. Нарешті, довільну траєкторію тіла m можна розбити на набір дугових і радіальних ділянок (наприклад, ламана ABCDE). При русі по дугах робота дорівнює нулю, при русі по радіальних відрізкам робота не залежить від положення цього відрізка – отже, робота гравітаційної сили залежить тільки від початкового і кінцевого відстані між тілами, що потрібно було довести.

Зауважте, що при доказі потенційності ми скористалися тільки тим фактом, що гравітаційні сили є центральними, тобто спрямованими вздовж прямої, що з’єднує тіла, і не згадували про конкретний вид залежності сили від відстані. Отже, всі центральні сили є потенційними.

Ми довели потенційність сили гравітаційної взаємодії між двома точковими тілами. Але для гравітаційних взаємодій справедливий принцип суперпозиції – сила, що діє на тіло з боку системи точкових тіл, дорівнює сумі сил парних взаємодій, кожна з яких є потенційною, отже, і їх сума також потенціальна. Дійсно, якщо робота кожної сили парного взаємодії не залежить від траєкторії, то і їх сума також не залежить від форми траєкторії. Таким чином, всі гравітаційні сили потенційні.

Нам залишилося отримати конкретне вираження для потенційної енергії гравітаційної взаємодії.

При такому визначенні потенційна енергія негативна і прагне до нуля при нескінченному відстані між тілами U (∞) = 0 U (∞) = 0. Формула (1) визначає роботу, яку здійснить сила гравітаційного тяжіння при збільшенні відстані від r до нескінченності, оскільки при такому русі вектори сили і переміщення спрямовані в протилежні сторони, то ця робота негативна. При протилежному русі, при зближенні тіл від нескінченного відстані до відстані, робота сили тяжіння буде позитивна. Цю роботу можна підрахувати щодо визначення потенційної енергії A∞ → rU (r) = – (U (∞) -U (r)) = GmMr A∞ → rU (r) = – (U (∞) -U (r)) = GmMr.

Підкреслимо, що потенційна енергія є характеристикою взаємодії, щонайменше, двох тіл. Не можна говорити про те, що енергія взаємодії «належить» одному з тіл, або яким чином «розділити цю енергію між тілами». Тому, коли ми говоримо про зміну потенційної енергії, ми маємо на увазі зміна енергії системи взаємодіючих тіл. Проте в деяких випадках допустимо все ж говорити про зміну потенційної енергії одного тіла. Так, при описі руху невеликого, в порівнянні з Землею, тіла в полі тяжіння Землі, говоримо про силу діє на тіло з боку Землі, як правило, не згадуючи і не враховуючи рівну силу, що діє з боку тіла на Землю. Справа в тому, що при величезній масі Землі, зміна її швидкості зникаюче мало. Тому зміна потенційної енергії взаємодії призводить до помітної зміни кінетичної енергії тіла і нескінченно малому зміні кінетичної енергії Землі. У такій ситуації припустимо говорити про потенційної енергії тіла поблизу поверхні Землі, тобто всю енергію гравітаційної взаємодії «приписати» невеликому тілу. У загальному випадку можна говорити про потенційної енергії окремого тіла, якщо решта взаємодіючі тіла нерухомі.

Ми неодноразово підкреслювали, що точка, в якій потенційна енергія приймається рівною нулю, вибирається довільно. В даному випадку такою точкою виявилася нескінченно віддалена точка. У певному сенсі цей незвичний висновок, може бути визнаний розумним: дійсно, на нескінченному відстані зникає взаємодія – зникає і потенційна енергія. З цієї точки зору логічним виглядає і знак потенційної енергії. Дійсно, щоб рознести дві притягуються тіла зовнішні сили повинні зробити позитивну роботу, тому в такому процесі потенційна енергія системи повинна зростати: ось вона зростає, зростає і … стає рівною нулю! Якщо притягуються тіла стикаються, то сила тяжіння не може вчиняти позитивну роботу, якщо ж тіла рознесені, то така робота може бути здійснена при зближенні тел. Тому часто кажуть, про те, що притягуються тіла володіють негативною енергією, а енергія отталкивающихся тел позитивна. Це твердження справедливо, тільки в тому випадку, якщо нульовий рівень потенційної енергії вибирається на нескінченності.

Так якщо два тіла пов’язані пружиною, то при збільшенні відстані між тілами, між ними буде діяти сила тяжіння, тим не менш, енергія їх взаємодії є позитивною. Не забувайте, що нульового рівня потенційної енергії відповідає стан недеформованою пружини (а не нескінченність).

Посилання на основну публікацію