Поширення, відбиток і переломлення хвиль

Механічна хвиля (пружна, поверхнева) в основі є механічний рух частинок середовища, в якій ця хвиля поширюється. Рух частинок середовища описується знайомими нам законами динаміки Ньютона і законами взаємодії частинок.

Звукова хвиля – області стиснення і розрядження газу, що розповсюджуються в просторі, тому описується газовими законами, з якими ми познайомимося пізніше.

Електромагнітна хвиля – змінюється в просторі електромагнітне поле, повністю описується рівняннями Максвелла.

Таким чином, ніяких нових фундаментальних законів для опису хвильових явищ не потрібно. Фактично опис хвильових процесів являє собою математичну проблему, пов’язану з вирішенням хвильових рівнянь. Надзвичайно дивно і дивно, що настільки різні фізичні явища описуються однаковими математичними рівняннями, але так влаштований той світ, в якому ми живемо (або ми його так розуміємо). Можливо, це пов’язано з наявністю деяких універсальних властивостей у різних об’єктів і систем – станів стійкої рівноваги, інерційності, взаємодій між «сусідами» і т.д.

В черговий раз ми стикаємося з характерним взаємодією фізики і математики: на підставі фізичних законів формулюються математичні рівняння, аналіз яких явно не пов’язаний з фізичною природою досліджуваного явища, а отримані рішення вимагають фізичної інтерпретації. Ось і зараз ми займаємося математичної проблемою – рішенням хвильових рівнянь. На жаль, ці рівняння занадто складні, для того, щоб у кожному конкретному випадку відразу виписувати кінцеві формули, будувати графіки і давати їм прості пояснення. Тому опис хвильових явищ ми будемо проводити на підставі деяких приватних принципів, і в міру поглиблення наших знань повертатися до цих принципам, уточнювати їх, давати їм обгрунтування з точки зору більш загальних принципів, які будуть обґрунтовуватися іншими принципами і законами і т.д. Іншими словами, ми підемо тим же драматичним шляхом, яким йшов розвиток науки протягом багатьох століть (якщо начитати відлік з Стародавньої Греції), і в якому брали активну участь вчені багатьох країн [1].

Раніше ми показали, що хвилі зручно вивчати і зображати за допомогою хвильових поверхонь і перпендикулярних до них хвильових променів. Зараз, ми познайомимося з правилами побудови цих геометричних об’єктів, що описують хвилі.

Історично одним з перших підходів, що дозволяють вирішувати частина з цих проблем, був принцип, сформульованих голландським ученим Християном Гюйгенсом, сучасником И.Ньютона.

Принцип Гюйгенса формулюється наступним чином: «Кожна точка середовища, до якої дійшло обурення, є джерелом вторинних хвиль, що огинає фронтів вторинних хвиль є фронтом результуючої хвилі».

Основна ідея цього підходу досить очевидна з точки зору здорового глузду: будь вагається частинок середовища є джерелом хвилі, не залежно від того, що змушує цю точку рухатися або зовнішня сила, або взаємодія з її сусідами. Якщо ця коливається частка знаходиться в однорідному середовищі, то испускаемая нею хвиля є сферичної (або кругової для поверхневих хвиль). Тому распространяющуюся хвилю можна розглядати як суму хвиль [2], іспущенних усіма хитаються частинками середовища, ці хвилі були названі вторинними. Однак коректно розрахувати суму всіх цих сферичних хвиль дуже складно, тому Х. Гюйгенс істотно спростив цю задачу, припустивши, що досить приймати до уваги, тільки хвилі іспущенние частинками, що знаходяться на фронті хвилі. Фронтом хвилі називається межа обуреної області середовища, тобто тієї області, до якої дійшла хвиля до даного моменту часу. Нарешті, замість підсумовування цих хвиль Х. Гюйгенс запропонував геометричну побудову – фронт результуючої хвилі є огинаючої фронтів вторинних хвиль. Ідея побудови облямовує [3] також логічна – адже обвідна є граничною лінією для всіх фронтів вторинних хвиль, тобто обмежує область, обурену хвилями. Зрозуміло, що фронти вторинних хвиль і їх огибающую слід будувати для одного і того ж моменту часу.

Таким чином, принцип Гюйгенса логічно випливає з якісних міркувань, але, все-таки, основним його обгрунтуванням служать слідства, які можуть бути отримані з його допомогою, які підтверджуються спостереженнями і експериментами з вивчення хвиль. Підкреслимо, що цей принцип дозволяє геометрично будувати фронти, хвильові поверхні, промені, однак, він де дає можливості розраховувати кількісні характеристики хвиль – амплітуди коливань точок середовища, стерпну енергію та інші.

Відзначимо, ще одна обставина: якщо раніше ми розглядали сталий режим коливань середовища (коли виписували функції нескінченних гармонійних хвиль), то при використанні принципу Гюйгенса ми розглядаємо процес поширення кордону області поширення хвилі – хоча, як це буде видно надалі, принципової різниці це не представляє.

Додаючи очевидне твердження про одній площині, отримуємо закон заломлення хвиль: «Луч переломлений, промінь падаючий і нормаль до межі розділу середовищ, побудована в точці падіння лежать в одній площині; відносини синуса кута заломлення до синуса кута падіння дорівнює відношенню швидкостей поширення хвиль ».

Зауважимо, що якщо швидкості хвиль по різні сторони від кордону розділу однакові, то переломлена хвиля поширюється в тому ж напрямку, що і падаюча хвиля, іншими словами ніякого заломлення спостерігатися не буде. Отже, єдиною характеристикою середовища, істотною для опису поширення хвиль є швидкість хвилі в даному середовищі. Тобто середовища можуть бути різними (наприклад, одна червоною, інша зеленої), але якщо швидкості поширення даного типу хвиль в них однакові, то для цієї хвилі середовища невиразні.

Заломлення є універсальним явищем для всіх хвиль. Добре відомим прикладом заломлення хвиль є заломлення світла, про це явище ми будемо говорити детально пізніше.

Досить легко спостерігати віддзеркалення і заломлення хвиль на поверхні води. Для цього необхідно взяти плоский посудину (кювету), налити в нього воду і порушити на її поверхні хвилю за допомогою коливається тіла, що стосується поверхні хвилі. Якщо це нестійке тіло мало, то утворена їм хвиля буде кругової. Якщо ж в якості джерела взяти горизонтальний стрижень, то можна отримати хвилю, яка досить близька до плоскої. Так як швидкість поверхневих хвиль убуває при зменшенні глибини [4], то поміщене на дно кювети плоске тіло зменшує швидкість поширення хвилі. Тим самим не представляє проблеми створити плоску межу розділу середовищ з різними швидкостями розповсюдження. При проходженні хвилі через таку межу легко спостерігати як відображену, так і переломлену хвилі.

Отриманий закон заломлення хвиль (3) пояснює добре відоме спостереження: хвилі на поверхні води набігають на берег практично перпендикулярно йому. Це відбувається тому, що тому в міру наближення до берега синус кута і сам кут між напрямком поширення хвилі і перпендикуляром до берега зменшуються (оскільки зменшується швидкість поширення хвиль), що і призводить до того, що хвиля своїми гребенями розгортається паралельно берегу.

Отримані закони для напрямку поширення, відбиття і заломлення хвиль найбільш просто формулюються для хвильових променів, тому в багатьох завданнях, ці проблеми поширення хвиль зручно описувати саме за допомогою хвильових променів, як це, наприклад, робиться в рамках геометричної оптики.

На закінчення ще раз обговоримо цінність принципу Гюйгенса. З одного боку цей принцип дозволив отримати три закони: прямолінійного поширення, відбиття і заломлення хвиль. З іншого боку сам принцип не позбавлений від певних протиріч. Так ще раз розглянемо проходження хвилі через кордон двох середовищ. Ми показали, що в цьому випадку виникають відбиття і заломлення хвилі. Що буде в тому випадку, коли швидкості хвиль в різних середовищах збігаються? Ми відзначали, що в цьому випадку переломлена хвиля фактично збігається з падаючої, тому розрізнити їх не можливо. Але чи буде в цьому випадку відбита хвиля? Проведене побудова фронту відбитої хвилі ніяк не пов’язано з відмінністю в швидкостях поширення хвиль, тому справедливо і для випадку «кордону» середовищ з однаковими швидкостями поширення хвиль. А якщо середу є однорідною, то таку «межу розділу» можна провести довільно – тому й відбита від довільної «кордону» хвиля, також може бути довільною.

Щоб уникнути подібного парадоксу, доводиться доповнювати принцип Гюйгенса черговим недоказовим постулатом: відображення хвилі відбувається на тільки межі середовищ з різними швидкостями розповсюдження. Звичайно, розвиток хвильової фізики не зупинилося на принципі Гюйгенса, сформульованого в XVII столітті. Приблизно через сто років (вже за часів Наполеона і А.Вольта) французький фізик О.Френель зумів отримати формули, які дозволяють розрахувати амплітуди відбитої і преломленной хвиль. Ці формули знімають зазначене протиріччя: амплітуда відбитої хвилі залежить від різниці швидкостей поширення хвиль і при їх рівності амплітуда відбитої хвилі дорівнює нулю. Тому шанувальники принципу Гюйгенса можуть бути задоволені: так хвиля відбивається від будь-який «уявної кордону», але її амплітуда дорівнює нулю!

Посилання на основну публікацію