Поле рівномірно зарядженої площини

Вирішимо задачу, яка нам неодноразово знадобиться надалі. Нехай електричне поле створюється зарядами, які рівномірно розподілені по нескінченній площині.

Звичайно, в реальності нескінченно великих поверхонь не існує. В даному випадку, ми маємо на увазі, що точка A, в якій розраховується напруженість поля, знаходиться на відстані h від площини, яке значно менше відстаней до країв зарядженого ділянки (рис. 165). У цьому випадку вплив зарядів, розташованих досить далеко від розглянутої точки стає пренебрежимо малим. Проводити розрахунки для нескінченно великих площин виявляється простіше, ніж для кінцевих ділянок.

В якості характеристики розподілу зарядів введемо величину σ – поверхневу щільність заряду. Виберемо на площині довільну точку з координатами (x, y), оточимо її малій майданчиком площею ΔS. Нехай заряд цієї виділеної площадки дорівнює ΔQ, тоді середня поверхнева щільність заряду визначається як відношення заряду майданчика до її площі σ = ΔQΔS σ = ΔQΔS. При зменшенні площі виділеної майданчики, отримаємо поверхневу щільність заряду в даній точці поверхні

σ (x, y) = ΔQΔS σ (x, y) = ΔQΔS, при ΔS → 0. (1)
Для рівномірно зарядженої поверхні поверхнева щільність заряду постійна σ (x, y) = σ = const.

Для розрахунку напруженості поля скористаємося законом Ш. Кулона і принципом суперпозиції.

Розіб’ємо заряджену площину на малі ділянки. Таке розбиття можна проводити різними способами. Розрахунки спрощуються, якщо мис-ленно розбити площину на тонкі кільця, а потім кожне кільце розділити на малі ділянки (рис. 166).

Далі для обчислення напруженості поля, створеного всієї плоско-стю, необхідно підсумувати виразу (2) по всіх кільцям, на які була розбита площину. Таке підсумовування, в принципі, можна провести, але цей розрахунок вимагає залучення операції інтегрування, тому займатися цим не будемо. Тим більше, що результат можна отримає набагато швидше, використовую теорему Гаусса.

Для використання цієї теореми для визначення напруженості поля, необхідно розглянути симетрію поля, яка, очевидно пов’язана з симетрією зарядів. Розподіл зарядів не зміниться, якщо площина змістити на будь-який вектор a⃗ a →, що лежить в самій площині. Тому при такому зміщенні не зміниться і напруженість поля (рис. 169).

Отже, напруженість поля може залежати тільки від відстані до площини h. Будь-яка пряма, перпендикулярна площині є віссю симетрії, тобто при повороті площини на будь-який кут щодо будь-якої осі, перпендикулярній площині, розподіл зарядів не змінюється – отже, і вектор напруженості при такому повороті не зміниться, тому цей вектор повинен бути перпендикулярний площині. Нарешті, заряджена площина є площиною симетрії для поля. Тому в симетричних точках вектори напруженості також симетричні. Виявлені властивості симетрії електричного поля дозволяють вибрати поверхню, для якої можна виразити потік вектора напруженості в простій формі. Отже, в якості такої поверхні виберемо поверхню прямого циліндра, що утворюють якого перпендикулярні площині, а підстави площею S паралельні їй і знаходяться на рівних відстанях від площини.

Потік через верхню підставу циліндра може бути записаний у вигляді Ф = E · S, так модуль напруженості поля на основі циліндра постійний, а у напрямку збігається з вектором нормалі. Таке ж значення має потік через нижнє підставу. Таким чином, сумарний потік вектора напруженості електричного поля через поверхню циліндра дорівнює Фe = 2E · S. По теоремі Гаусса цей потік дорівнює заряду всередині поверхні Q = σS, поділеній на електричну постійну ΦE = 2ES = σSε0 ΦE = 2ES = σSε0. Їх цієї рівності висловлюємо модуль вектора напруженості електричного поля

E = σ2ε0 E = σ2ε0. (3)
Як бачите, з використанням теореми Гаусса нам вдалося вирішити по-поставлену задачу «в одну дію». Головна складова успіху – аналіз симетрії поля, що дозволив розумно вибрати поверхню, для використання теореми Гаусса. Також зверніть увагу, що напруженість даного поля однакова у всіх точках, отже, це поля є однорідним. Підкреслимо, незалежність напруженості поля від відстані до площини h ніяк не слід із симетрії поля, це результат нашого розрахунку.

Посилання на основну публікацію