Плоскопараллельний рух

Рух твердого тіла називається плоскопаралельним коли траєкторії руху всіх його точок є плоскими кривими, що лежать в паралельних площинах.

Плоскопараллельное рух твердого тіла можна представити як суперпозицію поступального руху і обертання навколо осі, напрямок якої не змінюється. Наочними прикладами такого руху є кочення колеса, рух книги без відриву від столу і т.д.

Для опису положення абсолютно твердого тіла при плоскопаралельному русі необхідно задати два декартові координати якої-небудь точки тіла [1] і кут його повороту, тобто плоскопараллельное рух володіє трьома ступенями свободи.

Виберемо всередині тіла дві точки A, B; задамо координати xA, yA точки A і кут φ, який утворює відрізок AB з напрямком осі X. Три числа xA, yA і φ однозначно визначають положення тіла на площині, отже, є його координатами. Знаючи ці координати, можна визначити положення в просторі будь-який інший точки твердого тіла шляхом геометричних побудов.

Покажемо тепер, як можна знайти швидкість будь-якої точки твердого тіла при плоскопаралельному русі (рис. 36).

Нехай його центр рухається зі швидкістю V⃗ V →. Знайдемо швидкості деяких інших точок колеса. Для цього представимо рух колеса як суму поступального руху його центру і обертання навколо його осі. Так як рух відбувається без прослизання, то кутова швидкість обертання визначається формулою ω = υR ω = υR. Для точок, що знаходяться на ободі колеса лінійна швидкість обертального руху дорівнює по модулю швидкості поступального руху, так як для них відстань до осі обертання дорівнює радіусу колеса, тому VBP = ωr = VRR = V VBP = ωr = VRR = V. Однак, напрямок цієї швидкості різному для різних точок. Так, для точки A швидкість обертального руху спрямована горизонтально, також як і швидкість поступального руху. Тому сумарна швидкість точки A дорівнює 2V і спрямована горизонтально. Швидкість обертального руху точки B спрямована вертикально вгору, тому її повна швидкість направлена ​​під кутом 45 ° до горизонту, а її модуль VB = V2√ VB = V2. Дуже цікава точка дотику з поверхнею C: швидкість її обертального руху спрямована горизонтально в сторону протилежну швидкості поступального руху, тому її повна швидкість дорівнює нулю.

Так як розкладання руху на складові не є однозначним, можна тепер уявити кочення колеса як суму руху точки C і обертання навколо осі, що проходить через цю точку. Ми показали, що швидкість точки C дорівнює нулю, тому з’являється можливість розглядати рух колеса як чистий поворот навколо точки C. Правда, це можливо протягом тільки нескінченно малого проміжку часу, тому, що в наступний момент точкою дотику буде інша точка колеса. Безліч точок твердого тіла, швидкості яких в даний момент дорівнюють нулю, утворюють миттєву вісь обертання тіла. Така вісь існує при будь-якому русі твердого тіла. Правда положення цієї осі постійно змінюється, тому для обчислення координат точок таке подання руху не дає особливих переваг. Але для обчислення швидкостей точок, розглядати плоскопараллельное рух як чистий поворот дуже зручно.

Легко довести, що кут повороту тіла не залежить від того, щодо якій осі ми його розглядаємо, отже, і кутова швидкість не залежить від осі. З цієї точки зору, швидкість будь-якої точки колеса визначається формулою V = ωr ‘, де r’ – відстань від даної точки до миттєвої осі обертання.

Розглянута задача про визначення швидкостей точок катящегося колеса може бути легко вирішена, якщо розглядати його рух як поворот навколо точки C (рис. 38): точка A знаходиться на відстані 2R від миттєвої осі обертання, тому її швидкість дорівнює VA = 2Rω = 2V; точка B знаходиться на відстані R2√ R2 від осі, її швидкість V2√ V2. Напрями векторів швидкостей також збігаються з отриманими раніше.

Таким чином, ми маємо два приблизно однакових за складністю способу опису руху твердого тіла: перший – суперпозиція поступального і обертального рухів: другий – поворот навколо миттєвої осі.

Посилання на основну публікацію