Параметри обертального руху

Можливо, що колесо, винайдене людиною давним-давно, стало головним його винаходом, що дозволив вирішити багато інженерні завдання. Розвиток технічного прогресу абсолютно неможливо без колеса і багатьох його похідних.

У повсякденному житті більшість об’єктів рухаються по складних траєкторіях, які, як правило, складаються з поступального і обертального рухів.

Поступальним рухом називають такий рух тіла, при якому будь-яка пряма, пов’язана з об’єктом, що рухається, завжди залишається паралельної самій собі.

Обертальним рухом називають такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по колах.

У свою чергу, обертальний рух поділяється на тангенціальну і радіальну складові:

Тангенціальне рух – частина обертального руху, що відбувається по дотичній до окружності обертання, швидкість тангенціального руху матеріальної точки називають лінійною швидкістю обертального руху.
Радіальне (нормальне) рух – частина обертального руху, що відбувається перпендикулярно (по нормалі) до дотичній або уздовж радіусу кола.
Параметри прямолінійного і обертального рухів можна зв’язати наступними формулами:

Δs = r · ΔΘ
v = r · ω
a = r · α
На малюнку нижче представлений приклад обертального руху:

приклад обертального руху
Об’єкт рухається по колу з радіусом r і лінійної швидкістю v, яка є векторною величиною (володіє величиною і напрямком, перпендикулярним радіус-вектору r).

Використовуючи описані вище формули, спробуємо вирішити нескладне завдання, і визначити з якою швидкістю рухається автомобіль, якщо його колеса, радіусом 50 см, обертаються з кутовою швидкістю 10π?

Для вирішення поставленого завдання скористаємося формулою зв’язку лінійної і кутової швидкості:
v = r · ω
Підставами значення, і отримаємо:
v = 0,5 · 10 · π = 15,7 м / с
Тангенціальне прискорення
Тангенціальним прискоренням називають швидкість зміни величини лінійної швидкість обертального руху.

Спробуємо пов’язати лінійне і кутове прискорення.

Формула лінійного прискорення має вигляд:

a = Δv / Δt
a – лінійне прискорення;
Δv – зміна лінійної швидкості;
Δt – час зміни лінійної швидкості.
Формула кутового прискорення має вигляд:

α = Δω / Δt
α – кутовий прискорення;
Δω – зміна кутової швидкості;
Δt – час зміни кутової швидкості.
Між собою лінійна і кутова швидкості пов’язані формулою:

v = r · ω
Підставами цей вислів в формулу лінійного прискорення:

a = Δv / Δt = Δ (r · ω) / Δt
Перетворимо отримане вираження, винісши за дужки радіус, оскільки він є постійною величиною:

a = r · Δω / Δt
З огляду на формулу кутового прискорення, виробляємо заміну:

α = Δω / Δt
a = r · Δω / Δt
a = r · α
У підсумку, отримана формула зв’язку лінійного і кутового прискорення:

a = r · α
Тангенціальне прискорення дорівнює добутку радіуса на кутовий прискорення.

доцентровийприскорення
Доцентрові прискоренням називають прискорення, яке необхідно для утримання об’єкта на круговій орбіті обертального руху.

Спробуємо пов’язати доцентровийприскорення з кутовий швидкістю.

Доцентровийприскорення обчислюється за формулою:

Aц = v2 / r
Лінійна і кутова швидкості пов’язані ставленням:

v = r · ω
Підставляємо одну формулу в іншу:

Aц = (r · ω) 2 / r = r · ω2
Таким чином, знаючи кутову швидкість об’єкту і радіус його руху, можна визначити величину доцентровий прискорення об’єкта.

Застосуємо теоретичні знання на практиці, і розрахуємо доцентрову силу, необхідну для утримання Землі на своїй орбіті (брати до уваги гравітаційні впливу інших планет Сонячної системи не будемо).

Земля робить повний оборот навколо Сонця за 365 днів (це не зовсім так, але не будемо заглиблюватися в нюанси, нам важливий сам принцип обчислення). Іншими словами, за 365 днів Земля проходить шлях в 2π радіан. Таким чином, кутова швидкість руху Землі дорівнює:

ω = ΔΘ / Δt = 2 · π / 365
Перетворимо дні в секунди, щоб отримати значення кутової швидкості в стандартних одиницях: 365 днів = 31 536 000 секунд = 3,1536 · 107.

Підставляємо значення в секундах в попередню формулу:

ω = 2 · π / (3,1536 · 107) = 2 · 10-7 с-1
Середній радіус земної орбіти дорівнює 150 млн. Км або 1,5 · 1011 м. Підставляючи числові значення у формулу доцентровий прискорення отримаємо:

Aц = r · ω2
Aц = (1,5 · 1011) · (2 ​​· 10-7) 2 = 6 · 10-3 с-1
Маса Землі приблизно дорівнює 6 · 1024 кг. Обчислюємо доцентрову силу, необхідну для утримання Землі на її орбіті:

Fц = m · Aц
Fц = (6 · тисячі двадцять чотири) · (6 · 10-3) = 3,6 • 1022 Н.

Посилання на основну публікацію