Основні закони гідростатики

Наметове в найзагальніших рисах принципи кінематичного опису руху рідин і газів, приступимо до розгляду основних ідей динаміки руху, тобто з’ясування причин, того чи іншого виду руху. Основним поняттям динаміки є взаємодія тіл і його характеристика – сила. Отже, для динамічного опису руху рідин і газів необхідно розглянути взаємодію різних частин рідкого середовища між собою. Як ми вже відзначали, ці сили обумовлені міжмолекулярними взаємодіями, їх повний опис надзвичайно складно, але зараз нам немає необхідності досконально знати закони цих взаємодій, досить взяти до уваги, що при деформації рідини (тобто зміні відстані між молекулами) виникають сили пружності.

Крім міжмолекулярних сил (сил тиску, обумовлених деформацією рідини), на рідину можуть діяти і зовнішні сили, наприклад, гравітаційні (зокрема, сила тяжіння), інерційні, електричні, магнітні і т.д. Має сенс, розділити ці зовнішні сили на дві групи – об’ємні, діючі, на всі частини рідини, і поверхневі, діючі тільки на поверхню рідини з боку навколишніх тіл (наприклад, стінок посудини).

Нехай рідина знаходиться в стані спокою. В якості вихідних «аксіом» приймемо закони динаміки Ньютона і очевидний експериментальний факт – рідина має властивість текучості. Отримані в даному розділі результати в рівній мірі застосовні і до газів.

Розглянемо, які слідства можна витягти з цих «аксіом».

Сила, з якою спочиваюча рідина діє на стінки посудини, спрямована перпендикулярно до цих стінці (рис. 114).

Доведемо це твердження методом «від супротивного». У нехай в деякій частині судини, сила тиску F⃗ d F → d, діюча на стінку, спрямована під деяким (не прямим) кутом до останньої. За третім законом Ньютона, стінка діє на рідину з силою F⃗ F →, рівною за величиною і протилежною за направленням F⃗ = -F⃗ d F → = -F → d. Розкладемо цю силу на нормальну (спрямовану перпендикулярно стінці) F⃗ n F → n і тангенціальну (спрямовану по дотичній до стінки) F⃗ τ F → τ складові (рис. 115). При наявності тангенціальною сили, що діє на рідину, рідину, внаслідок плинності, прийде в рух. У стані рівноваги таких сил бути не може. Отже, сили взаємодії стінки і рідини нормальні до стінці.

Сили, що діють на кордон подумки виділеного обсягу нерухомою рідини, перпендикулярні цій межі (рис. 116).

Це твердження доводиться аналогічно попередньому, методом від протилежного.
Отже, питання про направлення сил взаємодії рідини з посудиною і різних частин рідини, вирішується однозначно – ці сили спрямовані по нормалі до межі розділу. Якщо всередині рідини виділити деяку малу площадку, то модуль сили, що діє на одну сторону цього майданчика, не залежить від її орієнтації. Ця властивість внутрішніх сил дозволяє ввести скалярну силову характеристику взаємодій всередині рідини – тиск.
Строго кажучи, сили взаємодії між різними частинами рідини змінюються від точки до точки, тому зміна орієнтації не малої майданчики призведе до зміни сили, що діє на неї. Для малої [1] ж майданчики можна знехтувати зміною сил взаємодії в її межах. Тому модуль розглянутої сили в цьому випадку виявляється пропорційною площі. Отже, ставлення модуля сили до площі майданчика є характеристикою сил пружності всередині рідини.
Тиск – відношення модуля сили, діючої на виділену малу площадку, до площі цієї площадки
p = ΔFΔS p = ΔFΔS, при ΔS → 0. (1)
Як ми вже відзначали, рідина може бути, як стиснута, так і розтягнуто, тому сили тиску (сили пружності), залишаючись нормальними, можуть бути направлені в різні боки від кордону рідини. Для вказівки напряму можна вказувати знак тиску. Прийнято вважати тиск позитивним, якщо сила тиску рідини спрямована назовні від розглянутого об’єму, що відповідає стислій рідини, у випадку ж розтягнутої рідини сили пружності направлені всередину рідини, тому тиск такої рідини вважається негативним.
Зрозуміло, що сила, яка діє на майданчик, може залежати від її положення всередині рідини, тому і тиск може змінюватися при переході від однієї точці об’єму рідини до іншої. У цьому сенсі, тиск слід розглядати як точкову характеристику, тобто як функцію координат p (x, y, z).
Звичайно, виміряти тиск «в даній точці» виміряти неможливо – вимірюванню піддається тільки сила, що діє на майданчик кінцевої площі. Крім того, безглуздо говорити про тиск на площах, порівнянних з розмірами окремої молекули. Однак з точки зору простоти математичного опису зручніше розглядати тиск саме як функцію координат, розуміючи фізичну обмеженість цього поняття.

Враховуючи, що сила, яка діє на малу площадку, спрямована по нормалі до майданчику, а її модуль виражається з формули (1), вектор сили можна записати у вигляді ΔF⃗ = pΔSn⃗ ΔF → = pΔSn →, де n⃗ n → одиничний вектор нормалі до майданчику . Для обчислення сумарної сили тиску на деяку поверхню всередині рідини, необхідно розбити цю поверхню на малі ділянки (рис. 117), обчислити силу, що діє на кожну майданчик, і підсумувати всі ці сили F⃗ = ΣipiΔSin⃗ i F → = ΣipiΔSin → i.
Продовжимо розгляд наслідків з умов рівноваги рідини.
Векторна сума зовнішніх сил, що діють на будь-яку подумки виділену частину нерухомою рідини, дорівнює нулю.
Це твердження просто повторює загальна умова рівноваги будь-якого тіла, в тому числі і рідкого.
При відсутності об’ємних сил, що діють на рідину, тиск у всіх точках об’єму однаково.

Для доказу цього положення, подумки виділимо всередині рідини довільно орієнтований вузький циліндр (рис. 118). Так як рідина у виділеному обсязі знаходиться у спокої, то сили, що діють на основи циліндра, рівні по модулю і протилежні за напрямком F⃗ 1 = -F⃗ 2 F → 1 = -F → 2. З цього співвідношення і визначення тиску випливає, що тиску в точках підстав циліндрів рівні. Аналогічні міркування справедливі для будь-якого циліндра, отже, тиск у всіх точках рідини однаково.
Справедливо і зворотне твердження.
Якщо тиск рідини у всіх точках однаково, то сумарна сила, що діє на довільну замкнуту поверхню, повністю знаходиться всередині рідини, дорівнює нулю.

Виділимо всередині об’єму рідини довільну замкнуту поверхню. На кожен малий ділянку поверхні діє сила тиску рідини, спрямована перпендикулярно даній дільниці. Доведемо, що сума проекцій сил тиску на довільний напрямок (наприклад, вісь X) дорівнює нулю. Для цього розіб’ємо виділену частину обсягу на вузькі циліндри, бічні поверхні яких паралельні виділеної осі (рис. 119). На підстави цих циліндрів діють сили тиску, рівні F1 = pS1, F2 = pS2, де S1, S2 – площі підстав циліндрів. Проекції сил на обраний напрям осі рівні F1x = pS1cos α1, F2x = -pS2cos α2, де α1, α2 – кути між нормалями до підстав і віссю X. Тепер зауважимо, що S1cos α1 = S2cos α2 = S0, де S0 – площа поперечного перерізу обраного циліндра, тому F1x + F2x = 0. Аналогічне співвідношення справедливо для всіх циліндрів, на які розбито тіло, тому сума проекцій сил на вісь X дорівнює нулю. Оскільки вісь X вибрана довільно, то сума проекцій сил тиску на будь-яку вісь дорівнює нулю, отже, і векторна сума розглянутих сил також дорівнює нулю.
(Закон Паскаля). Тиск на поверхню рідини, вироблене зовнішніми силами, передається рідиною в усі сторони однаково.

Даний закон справедливий і в тому випадку, коли на рідину діють об’ємні сили. Нехай рідина знаходиться в посудині під поршнем (рис. 120). Докладемо до поршня додаткову нормальну силу F⃗ F →. Під дією цієї сили рідина додатково стиснеться, що призведе до збільшення тиску. У стані рівноваги ця додаткова сила буде скомпенсирована рівним збільшенням сили тиску на поршень з боку рідини. Отже, збільшення тиску рідини безпосередньо під поршнем дорівнюватиме Δp0 = FS0 Δp0 = FS0, де S0 – площа поршня. Виділимо всередині рідини довільну замкнуту поверхню, частина якої збігається з поверхнею поршня. У стані рівноваги сума об’ємних сил F⃗ ob F → ob, діючих на виділену частину рідини, і поверхневих сил тиску F⃗ pov = ΣipiΔSin⃗ i F → pov = ΣipiΔSin → i дорівнює нулю:
F⃗ ob + ΣipiΔSin⃗ i = 0⃗ F → ob + ΣipiΔSin → i = 0 →. (2)
Додаткова сила тиску на частину обраної поверхні під поршнем повинна бути скомпенсирована збільшенням поверхневих сил тиску на решту поверхню. Позначимо збільшення тиску поблизу частини ΔSi поверхні – Δpi. У стані рівноваги повинно виконуватися співвідношення, аналогічне (2)
F⃗ ob + Σi (pi + Δpi) ΔSin⃗ i = 0⃗ F → ob + Σi (pi + Δpi) ΔSin → i = 0 →. (3)
Враховуючи, що сумарна об’ємна сила не змінилася, з (2), (3) випливає, що співвідношення
ΣiΔpiΔSin⃗ i = 0⃗ ΣiΔpiΔSin → i = 0 →,
повинно виконуватися для будь-якої поверхні всередині об’єму рідини, що можливо тільки в тому випадку, якщо величини Δpi однакові у всіх точках рідини, тобто Δpi = Δp0 = FS0 Δpi = Δp0 = FS0. Відзначимо, що закон Паскаля можна інтерпретувати наступним чином: в стані рівноваги зміна тиску в одній точці рідини призводить до рівного зміни тиску у всіх інших точках рідини.
Істотним у даній формулюванні є згадка про стані рівноваги, тому, що при збільшенні тиску в деякій точці рідини, потрібно певний проміжок часу, щоб відбулося встановлення рівноваги в інших частинах об’єму рідини, іншими словами, обурення рідини поширюється усередині обсягу з кінцевою швидкістю. Пізніше ми покажемо, що ця швидкість є швидкість поширення пружних хвиль (тобто звуку) в даної рідини.
Важливими наслідком закону Паскаля є, так званий, «гідростатичний парадокс» – тиск рідини на дно посудини не залежить від форми посудини, який проявляється у властивостях сполучених посудин. Закон Паскаля також є теоретичним обгрунтуванням таких пристроїв як гідравлічний прес, сифон і т.д.
У полі тяжкості землі тиск рідини на глибині h визначається за формулою
p = ρgh p = ρgh, (4)
де ρ – густина рідини, g – прискорення вільного падіння. Тиск, обумовлене формулою (4), називається гідростатичним.
Для виведення цієї формули досить виділити всередині об’єму рідини вертикальний циліндр висотою h, верхнє підставу якого площею S знаходиться на вільній поверхні рідини, і розглянути умови його рівноваги. Об’ємні сили, що діють на рідину всередині виділеного циліндра (в даному випадку це сила тяжіння mg = ρgV = ρghS) врівноважується силою тиску на нижню основу циліндра ρS. З умови рівності цих сил випливає формула (4).
Зауважимо, що формула (4) описує тільки ту частину тиску, яка обумовлена ​​силою тяжіння, що діє на рідину. У загальному випадку повний тиск на глибині h дорівнюватиме сумі гідростатичного тиску і зовнішнього тиску на поверхню рідини (наприклад, атмосферного тиску).
(Закон Архімеда). На занурене в рідину тіло, діє виштовхуюча сила, рівна сумарної об’ємної силі, що діє на рідину в обсязі тіла.

Доказ цього закону досить просто. За своєю природою виштовхуюча сила є векторна сума сил тиску рідини на поверхню тіла (ріс.121). Отже, ця сила визначається розподілом тиску рідини поблизу поверхні тіла. Подумки приберемо тіло з рідини, залишивши тільки його «оболонку», яку заповнимо тієї ж рідиною. Від такої заміни сумарна сила тиску на поверхню не зміниться. З іншого боку, очевидно, що рідина в обсязі тіла, що знаходиться в такій же рідини буде перебувати в рівновазі. Тому сумарна сила тиску буде дорівнює за величиною і протилежна за напрямком об’ємної силі, що діє на рідину в обсязі тіла.
В окремому випадку, якщо єдиною об’ємною силою є сила тяжіння, і при постійній щільності рідини ρ, виштовхуюча сила (сила Архімеда FA) по модулю дорівнює силі тяжіння, що діє на рідину в обсязі тіла V і протилежна їй за напрямком:
FA = ρgV FA = ρgV, або у векторній формі F⃗ A = -ρg⃗ V F → A = -ρg → V.
Зауважимо, що виштовхуюча сила з’являється тільки в тому випадку, коли тиск усередині рідини різному в різних точках. У разі постійного тиску (яким би великим воно не було) сумарна сила тиску дорівнює нулю. Різниця тисків обумовлено тільки об’ємними силами, що діють на рідину. Поверхневі сили, як було нами показано, не можуть привести до виникнення різниці тисків у різних точках рідини. Припустимо, що рідина знаходиться під поршнем – збільшення сили тиску на поршень не призведе до збільшення виштовхує сили, що діє на занурене в рідину тіло.
У загальному випадку виштовхуюча сила може описуватися більш складними формулами, які можуть враховувати зміну щільності рідини, зміна прискорення вільного падіння, як за величиною, так і за напрямком, присутність інших об’ємних сил – інерційних, електричних, магнітних і т.д.

Посилання на основну публікацію