Опис структури кристалів

Кристал можна представити як періодично повторювані в просторі однакові елементарні структурні одиниці – елементарні комірки кристала, що складаються з одного, у найпростішому випадку, або декількох атомів кожна.
Елементарна комірка в загальному випадку має форму косокутного паралелепіпеда. Всі розташовані в ній атоми прийнято називати базисом елементарної комірки кристала. Закономірності будови елементарної комірки і базису, зокрема ступінь їх симетричності визначає багато властивостей кристала, в першу чергу електричні, магнітні і механічні. Елементарна комірка може містити як один, так і декілька атомів. Так у багатьох металів, наприклад заліза, хрому, міді, срібла, вона складається з одного атома. У тих випадках коли, кристал складається з декількох хімічних елементів, наприклад, натрію і хлору, елементарна комірка буде містити як мінімум два атоми: натрій і хлор. Широко поширені кристали з елементарною клітинкою, що складається з декількох зчеплених один з одним молекулярних груп, наприклад кристали льоду або ж багатьох магнітних матеріалів. Існують кристали, наприклад, білкові, елементарна комірка яких складається з молекул, що містять кілька тисяч атомів.

Вибір елементарної комірки. Опис структури будь-якого кристала можна і прийнято проводити, охарактеризувавши його елементарну комірку. Ясно, що вибрати елементарну комірку одного і того ж кристала можна кількома способами (рис. 1.1). При такому виборі прагнуть до найбільш простій формі осередку, зокрема до найбільшого числа прямих кутів, а також до мінімальності її обсягу. Осередок з найменшим обсягом прийнято називати примітивної елементарної осередком. Однак часто вибирають елементарну комірку більшого обсягу, але більш простої форми, що містить кілька наборів атомів, що формують базис елементарної комірки. На рис. 1.1 зображена кристалічна решітка -заліза. Найпростіше її представити як простір, заповнений кубиками, в кутах (1) і в центрі (2) яких розташовані атоми заліза. Таку дуже поширену решітку прийнято називати об’ємно-центрованої кубічної (ОЦК). Елементарну комірку можна вибрати як скіс паралелепіпед (б) з квадратним підставою. Однак за елементарну зручніше вибрати клітинку в 2 рази більшого обсягу, але з усіма прямими кутами (а), вона набагато наочніше, краще відображає симетричність в розташуванні атомів, її легше аналізувати математично.

1. У триклинной системі як всі кути не рівні один одному так і всі довжини сторін не рівні один одному. Дана решітка має центр симетрії в центрі елементарної комірки.
2. У моноклінної системі осередок має форму прямої призми з ребрами різної довжини. Осередок може бути з центрованими підставами прямої призми і примітивною. У такої решітки додаються елементи симетрії: площина симетрії, паралельна підставі прямої призми, і вісь обертання 2-го порядку, через середини підстав.
3. У ромбічної системі осередок має форму прямокутного паралелепіпеда з ребрами різної довжини. Осередок має всі 4 різновиди:. У такої решітки ще більше елементів симетрії: три площини симетрії, паралельні граням, і три осі обертання 2-го порядку, що проходять через середини протилежних однакових граней.
4. У тетрагона осередок має форму прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою. Осередок може бути примітивною і ОЦ. У порівнянні з попередньою гратами у неї з’являється вісь обертання 4-го порядку і кілька площин симетрії.
5. У кубічної системі осередок має форму куба. Осередок може бути з центрованими гранями куба (ГЦК – гранецентрированний куб) або центром (ОЦК – об’емноцентрірованной куб). Це сама симетрична решітка, елементи симетрії якої ми розглядали вище (див. Рис. 1.2).
6. У гексагональної системі осередок має форму прямої призми з ромбом в основі, причому кут у ромбі дорівнює 60 градусам. Часто розглядають потрійну осередок (див. Рис. 1.4), що має вигляд правильної шестигранної призми з віссю симетрії шостого порядку (звідси і її назва).
7. У тригональной системі осередок прийнято вибирати у вигляді ромбоедра, всі грані якого – однакові ромби з кутом при вершині. Зауважимо, що в разі ОЦК і ГЦК решіток можна вибрати елементарну трігональную клітинку з об’ємом в 2 і 4 рази меншим, ніж обрана кубічна (див. Задачу. 1.1).

Всі інші “типи” решіток які, здавалося б повинні існувати, наприклад зображена на рис. 1.1 решітка “б” з квадратом в основі, можуть бути зведені вибором інших векторів до одного із зазначених вище типів.
Симетрія решітки визначає анізотропію (різні значення за різними напрямами) фізичних властивостей. Анізотропія деяких фізичних властивостей може бути передбачена по виду елементарної комірки. Наприклад для ромбічної, моноклінної і триклинной решіток, що володіють порівняно малим числом елементів симетрії, спостерігається анізотропія багатьох характеристик, розглянутих у главах 3-5, наприклад відносної електричної проникності, коефіцієнта теплопровідності. Ці характеристики речовин зазвичай описують матрицями другого порядку [4-6]. У разі симетричною кубічної решітки ці величини можуть перетворитися на скалярні; у разі тетрагональной або гексагональної решітки властивості кристала можуть виявитися однаковими у площині перпендикулярній ребру с. Досить докладно зв’язок симетрії кристалічної решітки з симметричностью тензорів, що описують різні фізичні властивості, розглядається в літературі з кристалографії, наприклад [4-6].
Осередок Вигнера-Зейца. Існує спосіб вибору елементарної комірки, званої осередком Вигнера-Зейца, використовуваної в наступних розділах для аналізу руху частинок в кристалі. Для вибору комірки виділяють область простору “більш наближену” до даного вузла кристалічної решітки, ніж до інших. Для цього з’єднують обраний вузол з одним з найближчих (або іноді також і наступними за найближчими) його сусідів відрізком, знаходять його середину і через неї проводять перпендикулярну даному відрізку площину, що ділить простір на два півпростору. Виділяють полупространство, що містить обраний вузол. Таку операцію повторюють з усіма сусідами обраного вузла. Перетин всіх виділених напівпросторів і дасть осередок Вигнера-Зейца. Можна легко показати, наприклад, що у разі примітивних кубічної, тетрагональної та ромбічної решіток осередок Вигнера-Зейца за формою і розмірами збігається з елементарною клітинкою, а її центр збігається з вузлом решітки. У разі ОЦК і ГЦК решіток осередок Вигнера-Зейца має більш складну форму [1].
Напрямок в кристалічній решітці. Напрямок в кристалічній решітці задають координатами їх направляючого вектора в базисних векторах, зазвичай їх укладають у квадратні дужки. При цьому знак мінуса в разі заперечності координати зображують над числом. Найбільш важливі напрямки задаються як правило цілими числами. На рис. 1.2 напрямок паралельно ребру куба, напрямок паралельно просторової діагоналі куба, а напрямки і – діагоналям його нижньої основи. Деякі напрямки в силу симетричності решітки, наприклад кубічної, фізично рівноцінні, наприклад,, і. Для опису такого сімейства напрямків використовують трикутні дужки.
Кристалографічні площині. У кристалі велике значення мають особливі кристалографічні площини, що проходять через вузли кристалічної решітки. Саме кристалографічні площини, на яких розташована велика кількість вузлів кристалічної решітки, важливі як для передбачення огранки кристала, так і при розгляді руху частинок в ньому (див. Розд. 1.3 і глави 3 і 4).
Кристалографічні площині прийнято описувати індексами Міллера – набором трьох цілих чисел, укладених в круглі дужки. Знак мінус негативного індексу прийнято ставити над ним. Ці індекси мають простий геометричний зміст. Якщо уздовж трьох координатних осей, заданих векторами, відкласти відповідно відрізки з довжинами (див. Рис. 1.5), то отримані три точки однозначно зададуть проходить через них площину.

Посилання на основну публікацію