Опис монохроматичних хвиль на площині і в тривимірному просторі

Легкі хвилі, плавно набігають на берег озера, ласкаве хвилювання теплого моря, гігантські вали штормового океану – найбільш очевидні приклади хвиль, що поширюються по площині.

Як зазначив відомий англійський фізик лорд Релей хвилі на поверхні хвилі найбільш часто використовуваний приклад хвильових процесів, і найбільш невдалий з них. Причина такого висловлювання полягає в тому, що поверхневі хвилі надзвичайно складні для математичного опису: так ці хвилі не є ні поперечними, ні поздовжніми; існує, принаймні, два механізму виникнення поверхневих хвиль (гравітаційний та капілярний); їх профіль далекий від синусоїдального і змінюється в міру поширення, навіть може ставати нестійким і перекидатися; їх швидкість залежить від висоти хвилі. Строгої теорії цих хвиль не існують до теперішнього часу. Тим не менш, ми постійно будемо використовувати хвилі на поверхні води для ілюстрації досліджуваних хвильових явищ. Спостереження і експериментальне вивчення цих явищ настільки просто і знайомо, що спокутує відмічені «недоліки». Нарешті, якщо ці хвилі не надто великі, то піддаються опису в рамках найпростіших гармонійних хвиль. І останнє, невдачу того чи іншого експерименту з поверхневими хвилями завжди можна списати на їх унікальність.

Для опису поверхневих хвиль зручно ввести на розглянутій площині систему координат, наприклад, декартові. Тоді будь-яка фізична величина, що змінюється при переході від однієї точки площини до іншої, може бути описана як функція двох змінних – координат точки на площині. Якщо ж ця величина змінюється з часом, то для опису її зміни необхідно використовувати функцію трьох змінних: двох просторових координат і часу. Так і поверхнева хвиля повинна описується функцією цих трьох змінних U (x, y, t). Фізична величина, яка визначається цією функцією, може мати різний зміст (залежно від того, хвиля якої природи описується).

Так у випадку довільної хвилі на поверхні (Рис. 285) в якості такої величини виступає висота рівня рідини над рівноважним горизонтальним рівнем невозмущенной поверхні водної гладі. Побудуємо декартових систему координат, одна з осей якої Oz вертикальна, а дві інші лежать в горизонтальній площині спокійної води. У цьому випадку геометричний опис форми хвилі може мати вигляд z (x, y, t), де (x, y, z) – координати точки на поверхні хвилі.

Так як, ми намагаємося описувати хвилі довільної фізичної природи, то для обурення ми залишимо загальне позначення U (x, y, t). Тривимірний графік цієї функції (при фіксованому значенні моментів часу t = t0) можна наочно представляти як відповідний вигин хвилястою поверхні.

Аналогічно можна задавати рівняння хвилі, що розповсюджується в тривимірному просторі. Правда в цьому випадку немає можливості наочно графічно зобразити цю хвилю, оскільки навіть в заданий момент часу в кожній точці простору визначається деяка фізична величина, що описує хвильовий процес – тому її «графік» слід будувати в чотиривимірному просторі, що зробити на двовимірному аркуші паперу скрутно . Просторові хвилі описуються функцією чотирьох змінних: часу і три просторових координат U (x, y, z, t) = U (r⃗, t) U (x, y, z, t) = U (r →, t) – у кожен момент часу в кожній точці простору визначається деяка фізична величина. Як і раніше, сенс цієї величини визначається фізичною природою хвилі – це може бути зміщення частинки від власного положення рівноваги положення рівноваги (в пружних хвилях), надлишковий тиск (в звукових хвилях), напруженість електричного поля (в електромагнітної хвилі) і т.д. Узагальнюючи отримане загальний вираз для монохроматичному хвилі (2) на випадок хвиль в просторі, функцію, що описує таку хвилю, можна представити у вигляді

U (x, y, z, t) = A (x, y, z) cos (ωt + φ (x, y, z)) U (x, y, z, t) = A (x, y, z ) cos⁡ (ωt + φ (x, y, z)), (2а)
де функції A (x, y, z), φ (x, y, z) – також мають сенс амплітуди і фази хвилі в точці з координатами (x, y, z).

Відзначимо також, що фізична величина, що описує хвилю, може бути векторної (наприклад, напруженість електричного поля в електромагнітній хвилі). У цьому випадку функції U (x, y, z, t), A (x, y, z) є векторами. Введення таких векторів обов’язково для поперечних хвиль. Фазова функція φ (x, y, z) завжди скалярна, так ще ні хто не додумався ввести вектор фази коливань.

Фазова функція φ (x, y, z) в біжучому хвилі обов’язково повинна залежати від координат. Якщо фаза коливань постійна в усіх точках площині, усі точки середовища коливаються в одній фазі, тому переміщення «гребенів і западин» не буде – такі коливання протяжних середовищ також можливі, вони називаються стоячими хвилями, з ними ми познайомимося пізніше. У цьому ж розділі ми будемо «придумувати» функції, що описують біжать хвилі, у формі (2).

Введемо ще одне дуже корисне геометричне поняття, що допомагає наочно представляти довільні хвиля (у тому числі і просторові). При погляді на хвилі, насамперед, кидаються в очі гребені цих хвиль. Знаючи функцію хвилі (2), можна математично визначити місця розташування гребенів (в певний фіксований момент часу t0) – в цих точках косинус приймає максимальне значення, яке, як зазвичай, дорівнює одиниці. Це значення досягається, коли аргумент косинуса приймає значення

(ωt0 + φ (x, y, z)) = π2 + nπ, (n = 0, ± 1, ± 2 … (ωt0 + φ (x, y, z)) = π2 + nπ, (n = 0, ± 1, ± 2 …. (3)
Геометричне місце точок задовольняють цій умові і утворює гребені хвиль, причому різним значенням n відповідають різні гребені. Деяким, може, більше подобаються западини хвиль – вони без праці можуть записати умову, яке задовольняє цим точкам. У загальному випадку можна виділити безліч точок, що коливаються в одній фазі, тобто задовольняє умові

φ (x, y, z) = const φ (x, y, z) = const. (4)
Геометричне безліч точок, що коливаються в одній фазі, називається хвильовою поверхнею [1]. Ще раз підкреслимо, що кожна хвильова поверхня задається в конкретний момент часу, ці поверхні рухаються разом з хвилями. Завдання (і зображення) безлічі хвильових поверхонь дозволяє досить наочно представляти навіть складну хвилю – завжди можна вважати, що ці поверхні збігаються з гребенями хвиль. Найважливішою властивістю хвильової поверхні полягає в тому, що напрямок руху хвилі перпендикулярно хвильової поверхні. У цьому ми переконаємося на розглянутих нижче прикладах хвиль, при вивченні яких ми будемо постійно використовувати поняття хвильової поверхні.

Зображення хвилі за допомогою хвильових поверхонь аналогічно зображенню електростатичного поля за допомогою побудови еквіпотенціальних поверхонь, далі ми побудуємо і хвильові аналоги силових ліній цього поля. В черговий раз ми переконаємося, що різні фізичні явища описуються за допомогою одних і тих же математичних конструкцій.

Посилання на основну публікацію