Обертальний рух твердого тіла. Момент сили

Звичайно, становище однієї, навіть «особливої», точки далеко не повністю описує рух всієї розглянутої системи тіл, але все-таки, краще знати положення хоча б однієї точки, ніж не знати нічого. Тим не менш, розглянемо застосування законів Ньютона до опису обертання твердого тіла навколо фіксованої осі [1].

Почнемо з найпростішого випадку: нехай матеріальна точка маси m прикріплена за допомогою невагомого жорсткого стрижня довжиною r до нерухомої осі OO ‘(рис. 46). Матеріальна точка може рухатися навколо осі, залишаючись від неї на постійній відстані, отже, її траєкторія буде окружністю з центром на осі обертання.

Безумовно, рух точки підпорядковується рівнянню другого закону Ньютона ma⃗ = F⃗ 0 ma → = F → 0. Однак, безпосереднє застосування цього рівняння не виправдано: по-перше, точка володіє одним ступенем свободи, тому в якості єдиної координати зручно використовувати кут повороту, а не дві декартові координати; по-друге, на розглянуту систему діють сили реакції в осі обертання, а безпосередньо на матеріальну точку – сила натягу стрижня. Знаходження цих сил являє собою окрему проблему, вирішення якої надмірно для опису обертання. Тому має сенс отримати на підставі законів Ньютона спеціальне рівняння, безпосередньо описує обертальний рух.

Нехай в деякий момент часу на матеріальну точку діє деяка сила F⃗ F →, що лежить в площині перпендикулярній осі обертання (рис. 47). При кінематичному описі криволінійного руху вектор повного прискорення a⃗ a → зручно розкласти на дві складових: нормальну a⃗ n a → n, спрямовану до осі обертання, і тангенціальну a⃗ τ a → τ, спрямовану паралельно вектору швидкості. Значення нормального прискорення для визначення закону руху нам не потрібно. Звичайно, це прискорення також зумовлена ​​діючими силами, одна з яких невідома сила натягу стрижня.

Запишемо рівняння другого закону в проекції на тангенціальне напрямок:

maτ = Fτ maτ = Fτ, (1)
зауважимо, що сила реакції стержня не входить в це рівняння, так як вона спрямована уздовж стрижня і перпендикулярна обраної проекції. Зміна кута повороту φ безпосередньо визначається кутовою швидкістю ω = ΔφΔt ω = ΔφΔt, зміна якої в свою чергу описується кутовим прискоренням ε = ΔωΔt ε = ΔωΔt. Кутове прискорення пов’язане з тангенціальної складової прискорення співвідношенням aτ = rε. Якщо підставити цей вираз в рівняння (9), то одержимо рівняння, придатне для визначення кутового прискорення. Зручно ввести нову фізичну величину, що визначає взаємодія тіл при їх повороті. Для цього помножимо обидві частини рівняння (1) на r

mr2ε = Fτr mr2ε = Fτr. (2)
і розглянемо вираження в його правій частині Fτr, що має сенс твору тангенціальної складової сили, на відстань від осі обертання до точки прикладання сили. Це ж твір можна представити дещо іншій формі.

M = Fτr = Fr cos α = Fd, тут d – відстань від осі обертання до лінії дії сили, яке також називають плечем сили. Ця фізична величина, твір модуля сили на відстань від лінії дії сили до осі обертання (плече сили) M = Fd називається моментом сили. Дія сили може призводити до обертанню, як за годинниковою стрілкою, так і проти годинникової стрілки. Відповідно до вибраного позитивним напрямом обертання варто визначати і знак моменту сили. Зауважте, що момент сили визначається тією складовою сили, яка перпендикулярна радіус-вектору точки докладання. Складова вектора сили, спрямована уздовж відрізка, що з’єднує точку прикладання і вісь обертання, не призводить до розкручування тіла. Ця складова при закріпленої осі компенсується силою реакції в осі, тому вона не впливає на обертання тіла.

Запишемо ще одну корисну вирази для моменту сили. Нехай сила F⃗ F → прикладена до точки А, декартові координати якої дорівнюють x, y (рис. 49). Розкладемо силу F⃗ F → на дві складові F⃗ ​​x, F⃗ y F → x, F → y, паралельні відповідним осях координат. Момент сили F⃗ F → щодо осі, що проходить через початок координат, очевидно дорівнює сумі моментів складових F⃗ x, F⃗ y F → x, F → y, тобто M = xFy – yFx.

Аналогічно, тому, як нами було введено поняття вектора кутової швидкості, можна визначити також і поняття вектора моменту сили. Модуль цього вектора відповідає даному вище визначенню, спрямований ж він перпендикулярно площині, що містить вектор сили і відрізок, що з’єднує точку прикладання сили з віссю обертання. Вектор моменту сили також може бути визначений як векторний добуток радіус-вектора точки прикладання сили на вектор сили

M⃗ = r⃗ × F⃗ M → = r → × F →.
Зауважимо, що при зміщенні точки прикладання сили вздовж лінії її дії момент сили не змінюється.

Позначимо добуток маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання mr2 = I (ця величина називається моментом інерції матеріальної точки відносно осі). З використанням цих позначень рівняння (2) набуває вигляду, формально співпадає з рівнянням другого закону Ньютона для поступального руху

Iε = M Iε = M. (3)
Це рівняння називається основним рівнянням динаміки обертального руху. Отже, момент сили в обертовому русі відіграє таку ж роль, як і сила в поступальному русі, саме він визначає зміну кутової швидкості. Виявляється, (і це підтверджує наш повсякденний досвід) вплив сили на швидкість обертання визначає не тільки величина сили, але й точка його застосування. Момент інерції визначає інерційні властивості тіла по відношенню до обертання (говорячи простою мовою – показує, чи легко розкрутити тіло) – чим далі від осі обертання знаходиться матеріальна точка, тим важче привести її в обертання.

Рівняння (3) допускає узагальнення на випадок обертання довільного тіла. При обертанні тіла навколо фіксованої осі кутові прискорення всіх точок тіла однакові. Тому, аналогічно тому, як ми виконали при виводі рівняння Ньютона для поступального руху тіла, можна записати рівняння (3) для всіх точок обертового тіла і потім їх підсумувати. У результаті ми одержимо рівняння, зовні збігається з (3), в якому I – момент інерції всього тіла, рівний сумі моментів складових його матеріальних точок, M – сума моментів зовнішніх сил, що діють на тіло.

Покажемо, яким чином обчислюється момент інерції тіла. Важливо підкреслити, момент інерції тіла залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але і від положення і орієнтації осі обертання. Формально процедура розрахунку зводиться до розбиття тіла на малі частини, які можна вважати матеріальними точками (рис. 51), і підсумовуванню моментів інерцій цих матеріальних точок, які дорівнюють добутку маси на квадрат відстані до осі обертання

Для тіл простої форми такі суми давно підраховані, тому часто досить згадати (або знайти в довіднику) відповідну формулу для потрібного моменту інерції. Як приклад: момент інерції кругового однорідного циліндра маси m і радіуса R для осі обертання збігається з віссю циліндра дорівнює I = 12mR2 I = 12mR2.

Посилання на основну публікацію