Модель суцільного середовища

Добре відомо, що всі тіла, у тому числі рідкі газоподібні, складаються з молекул. Тому якщо задати положення кожної молекули в довільний момент часу, то рух рідини або газу буде описано дуже докладно. Однак очевидно, що виконання цієї програми неможливо [1] – досить згадати, що в 1 см3 міститься більш ніж 1019 молекул. Щоб тільки виписати потрібне число рівнянь руху не вистачить ні паперу, ні чорнила, ні часу. Більше того, таке сверхподробное опис є явно зайвим, витягти корисні відомості з такого масиву інформації просто неможливо. Отже, нам необхідний принципово інший спосіб опису руху рідини.

Перш за все, відзначимо, що в переважній більшості випадків опису руху рідин і газів немає необхідності розглядати молекулярну структуру – так як розміри рухомих об’ємів рідини, розміри рухомих в рідині твердих тіл значно перевищують розміри молекул. Тому в цих випадках використовується модель суцільного середовища. В рамках цієї моделі газ або рідина розглядається як середа, все характеристики якої плавно і безперервно змінюються від однієї геометричної точки до іншої. В рамках такої моделі можна вводити «точкові» характеристики середовища (наприклад, щільність, питома теплоємність, в’язкість, показник заломлення, питомий електричний опір) і розглядати їх як функції координат точок середовища. Якщо властивості середовища однакові у всіх точках простору, то така середу називається однорідною. З точки зору математики використання моделі суцільного середовища означає перехід від дискретного до безперервного опису. Розглянемо для прикладу поняття щільності неоднорідного середовища. Для однорідного речовини щільність ρ дорівнює відношенню маси тіла m до його об’єму V, або масі одиниці об’єму тіла – ρ = mV ρ = mV. Для однорідного речовини ставлення маси обсягу є величиною постійною.

Для тіла, виготовленого з неоднорідної речовини, введене поняття щільності ρ = mV ρ = mV дає тільки середнє значення густини тіла. Для більш докладного опису розподілу мас в таких тілах, можна подумки розбити тіло на малі частини (рис. 100), вказати номер i «шматочка», визначити його обсяг Vi і масу mi, розрахувати середню щільність ρi¯¯¯¯ = miVi ρi¯ = miVi. Для збільшення точності опису число частин має збільшуватися, відповідно буде зростати і число середніх густин. Фактично набір величин ρi являє собою середню щільність як функцію номера виділеної частини. Зрозуміло, що такий опис не дуже зручно.

Тому прийнятий інший метод опису розподілу мас усередині неоднорідного тіла. Виберемо всередині тіла точку з координатами (x, y, z) і навколо неї окреслимо деякий обсяг ΔV (його форма – кубик, кулька … несуттєва), визначимо масу речовини, що міститься всередині виділеного обсягу Δm і середню щільність цього виділеного обсягу ρ¯¯¯ (x, y, z) = ΔmΔV ρ¯ (x, y, z) = ΔmΔV. Далі подумки будемо зменшувати обсяг виділеної частини, відповідно буде зменшуватися і маса цієї частини. Межа, до якого прагне середня щільність при зменшенні обсягу, і називається щільністю речовини в даній точці

ρ (x, y, z) = ΔmΔV ρ (x, y, z) = ΔmΔV, при ΔV → 0.
При такому визначенні щільність стає безперервною функцією координат.

Аналогічно визначаються й інші «точкові» характеристики речовини.

З математичної точки зору для опису характеристик суцільного середовища, ми використовуємо функції декількох змінних – координат і часу (в принципі характеристики середовища можуть змінюватися з часом). Така відповідність – коли кожній точці простору (трьох координатах) ставиться у відповідність число, в математиці називається скалярним полем. У цьому математичному сенсі говорять про поле температур, поле тисків, поле густин і т.д.

Зверніть увагу, на формальну схожість визначення щільності «в точці» з визначенням миттєвої швидкості. Строго кажучи, поняття щільності «в точці» фізичного сенсу не має – вимірюванню піддається тільки середня щільність кінцевого об’єму речовини. Особливо абсурдним стає поняття щільності газу, в межах обсягу, розміри якого менше середньої відстані між молекулами!

Img Slob-10-7-101.jpg
Реальний зміст має твір ρ (x, y, z) ΔV рівне масі речовини в малому обсязі ΔV, навколишньому точку з координатами (x, y, z). Тим не менш, спрощення математичного опису, спокутує логічну суперечливість. У деяких випадках, говорячи про нескінченно малому обсязі, мають на увазі фізично нескінченно малий обсяг – з погляду математичного опису малий, а з фізичної великий у порівнянні із середнім відстанню між молекулами, що містить досить багато молекул. У такому обсязі, властивості окремих частинок (наприклад, їх масу) ми рівномірно «розмазує» по всьому об’єму, зберігаючи її сумарне значення (рис. 101).

Посилання на основну публікацію