Маятник – приклад простого гармонійного руху

Знайомство з простим гармонійним рухом проводилося нами на прикладі коливання вантажу, прикріпленого до пружної пружині.

Ще одним типовим прикладом простого гармонійного руху є коливання математичного маятника (ідеалізованої системи, яка складається з невагомою нерастяжимой нитки, на якій підвішений вантаж, маса якого зосереджена в одній матеріальної точки).

маятник
Спробуємо вивести аналогічні математичні формули, що описують просте гармонійне рух такого маятника.

Припустимо, що на нитці довжиною L підвішений вантаж масою m, при цьому маятник відхилений на кут Θ від положення вертикального рівноваги.

В такому випадку, на вантаж буде діяти сила гравітаційного тяжіння F = mg. При цьому, руху вантажу буде перешкоджати компонента сили, спрямована перпендикулярно нитки:

F⊥ = -mg · sin (Θ)
Кутове прискорення маятника α буде визначатися через момент компоненти сили F⊥:

M = L · F⊥ = -Lmg · sin (Θ)
M = mL2α
α = – (g / L) · sin (Θ)
При досить малих кутах коливання маятника sin (Θ) ≈Θ:

α = – (g / L) · Θ
Оскільки в простому гармонійному русі переміщення і прискорення пов’язані коефіцієнтом пропорційності (в нашому випадку g / L = ω2), отримуємо наступне рівність:

ω = √ (g / L)
Згадуємо про цикл (ω = 2πf) і періоді (ω = 2π / T) коливань:

f = (1 / 2π) · √ (g / L)
T = 2π · √ (L / g)
Як видно з отриманих формул, період коливань математичного маятника не залежить від маси вантажу.

Посилання на основну публікацію