Магнітний потік, теорема про магнітний потік

Раніше ми переконалися наскільки корисно і зручно поняття потоку векторного поля. Не є винятком і опис магнітного поля – для нього також визначається потік, і формулюється теорема про це потоці.

Потік вектора магнітної індукції (який також називається магнітним потоком) визначається традиційно [1]. Нехай в деякій малої області простору існує магнітне поле, яке можна вважати однорідним, тобто в цій області вектор магнітної індукції постійний, як за величиною, так і за напрямком.

У довільному магнітному полі магнітний потік через довільну поверхню, визначається таким чином (Мал. 45):

– Поверхня розбивається на малі майданчики ΔSi (які можна вважати плоскими);
– Визначається вектор індукції B⃗ i B → i на цьому майданчику (який в межах майданчика можна вважати постійним);
– Обчислюється сума потоків через всі майданчики, на які розбита поверхню

Ця сума називається потоком вектора індукції магнітного поля через задану поверхню (або магнітним потоком).

Зверніть увагу, що при обчисленні потоку підсумовування проводиться по точках спостереження поля, а не за джерелами, як при використанні принципу суперпозиції. Тому магнітний потік є інтегральною характеристикою поля, яка описує його усереднені властивості на всій розглянутої поверхні.

Важко знайти фізичний зміст магнітного потоку, як і для інших полів це корисна допоміжна фізична величина. Але на відміну від інших потоків, магнітний потік настільки часто зустрічається в додатках, що в системі СІ удостоївся «персональної» одиниці виміру – Вебер: 1 Вебер – магнітний потік однорідного магнітного поля індукції 1 Тл через майданчик площею 1 м2 орієнтовану перпендикулярно вектору магнітної індукції.

Тепер доведемо просту, але надзвичайно важливу теорему про магнітне потоці через замкнуту поверхню.

Раніше ми встановили, що силові будь-якого магнітного поля є замкнутими, вже з цього випливає, що магнітний потік, через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.

Тим не менш, наведемо більш формальне доведення цієї теореми.

Перш за все, відзначимо, що для магнітного потоку справедливий принцип суперпозиції: якщо магнітне поле створено декількома джерелами, то для будь-якої поверхні потік поля, створеного системою елементів струму, дорівнює сумі потоків полів, створених кожним елементом струму окремо. Це твердження випливає безпосередньо з принципу суперпозиції для вектора індукції і прямо пропорційною зв’язком між магнітним потоком і вектором магнітної індукції. Отже досить довести теорему для поля, створеного елементом струму, індукція якого визначається за законом Біо-Саварра-Лапласа. Тут для нас важлива структура поля, що володіє осьової круговою симетрією, значення модуля вектора індукції несуттєво. Виберемо як замкнутої поверхні поверхню бруска, вирізаного, як показано на рис. 46. ​​Магнітний потік відмінний від нуля тільки через його дві бічні грані, але ці потоки мають протилежні знаки. Згадаймо, що для замкнутої поверхні вибираю зовнішню нормаль, тому на одній із зазначених граней (передньої) потік позитивний, а на задній негативний. Причому модулі цих потоків рівні, так як розподіл вектора індукції поля на цих гранях однаково. Даний результат не залежить від положення розглянутого бруска. Довільний тіло можна розбити на нескінченно малі частини, кожна з яких подібна розглянутому бруска.

Нарешті, сформулюємо ще одна важлива властивість потоку будь-якого векторного поля. Нехай довільна замкнута поверхня обмежує деякий тіло (Мал. 47). Розіб’ємо це тіло на дві частини, обмежені частинами вихідної поверхні Ω1 і Ω2, і замкнемо їх спільним кордоном розділу тіла. Сума потоків через ці дві замкнуті поверхні дорівнює потоку через вихідну поверхню! Дійсно сума потоків через кордон (один раз для одного тіла, інший раз для іншого) дорівнює нулю, оскільки в кожному випадку треба брати різні, протилежні нормалі (кожен раз зовнішню). Аналогічно можна довести твердження для довільного розбиття тіла: якщо тіло розбите на довільне число частин, то потік через поверхню тіла дорівнює сумі потоків через поверхні всіх частин розбиття тіла. Це твердження очевидно для потоку рідини.

Фактично ми довели, що якщо потік векторного поля дорівнює нулю через деяку поверхню обмежує малий обсяг, то цей потік дорівнює нулю через будь-яку замкнуту поверхню.

Отже, для будь-якого магнітного поля справедлива теорема про магнітне потоці: магнітний потік через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю Фm = 0.

Раніше ми розглядали теореми про потоці для поля швидкостей рідини і електростатичного поля. У цих випадках потік через замкнену поверхню повністю визначався точковими джерелами поля (витоками і стоками рідини, точковими зарядами). У загальному випадку наявність ненульового потоку через замкнуту поверхню свідчить про наявність точкових джерел поля. Отже, фізичним змістом теореми про магнітне потоці є твердження про відсутність магнітних зарядів.

Якщо ви добре розібралися в даному питанні і зумієте пояснити і відстояти свою точку зору, то можете формулювати теорему про магнітне потоці і так: «Ще ніхто не знайшов монополя Дірака».

Слід особливо підкреслити, що, говорячи про відсутність джерел поля, ми маємо увазі саме точкових джерел, подібних електричним зарядам. Якщо провести аналогію з полем рухомої рідини, електричні заряди подібні точкам, з яких випливає (або втікає) рідина, збільшуючи або зменшуючи її кількість. Виникнення магнітного поля, завдяки руху електричних зарядів подібно до руху тіла в рідині, яке призводить до появи вихорів, що не змінюють загальної кількості рідини.

Векторні поля, для яких потік через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю отримали гарне, екзотичну назву – соленоідальной. Соленоїдом називається дротяна котушка, через яку можна пропускати електричний струм. Така котушка може створювати сильні магнітні поля, тому термін соленоідальной означає «подібний полю соленоїда», хоча можна було назвати такі поля простіше – «магнітоподобние». Нарешті такі поля ще називають вихровими, подібно полю швидкостей рідини, що утворює у своєму русі всілякі турбулентні завихрення.

Теорема про магнітне потоці має велике значення, вона часто використовується при доказі різних властивостей магнітних взаємодій, з нею ми будемо зустрічатися неодноразово. Так, наприклад, теорема про магнітне потоці доводить, що вектор індукції магнітного поля, створюваного елементом, не може мати радіальної складової (Мал. 23.а), інакше потік через циліндричну поверхню коаксіальну з елементом струму був би відмінний від нуля.

Посилання на основну публікацію