Кінетичний опис руху рідини і газу – «гідрокінематика»

При кінематичному описі руху будь механічної системи немає необхідності докладно розглядати внутрішні фізичні властивості тіл, включених в систему. При описі руху рідини достатньо взяти до уваги її плинність – здатність змінювати свою форму при найменшому зовнішньому впливі. Властивості рідин і газів істотно різняться, проте опис руху рідин і газів схоже, тому в даному розділі, говорячи про описі руху рідини, матимемо увазі, що опис руху газів проводиться аналогічно.

Якщо нас цікавить рух рідини цілком, а не конкретно якоїсь молекули, ми можемо говорити про швидкість рідини в даній точці, в даний момент часу. Іншими словами, будемо стежити не за окремою частинкою рідини (її швидкістю, траєкторією та іншими характеристиками), а за швидкістю рідини в даній просторової точці, не звертаючи уваги, що в інший момент часу в розглянутій точці буде знаходитися інша частинка рідини. Таким чином, основною характеристикою руху вважатимемо просторовий розподіл швидкостей рідини, яке задається векторної функцією V⃗ (t, x, y, z) V → (t, x, y, z) – функцією, яка задає вектор швидкості рідини, в будь-якій точці, в будь-який момент часу. Звичайно, математично така конструкція дуже складна: згадайте, звичайна функція f (x) кожному числу (аргументу x) ставить у відповідність інше число (значення функції). У нашому ж випадку чотирьом числах (трьох координатах і часу) ставиться у відповідність три числа (компоненти вектора). У математиці така відповідність є узагальненням поняття функції і називається [1] векторним полем. Тому введена функція V⃗ (t, x, y, z) V → (t, x, y, z) часто називається полем швидкостей. У частому випадку розподіл швидкостей може зберігатися протягом деякого проміжку часу, тоді функція V⃗ (t, x, y, z) = V⃗ (x, y, z) V → (t, x, y, z) = V → (x , y, z) не залежить від часу, таке поле швидкостей називається стаціонарним. Якщо ж швидкості руху рідини однакові у всіх точках, то поле швидкостей називається однорідним. Підкреслимо, стаціонарне – значить, в розглянутому часовому проміжку швидкості залишаються постійними (але можуть бути різними в різних точках); однорідне – значить, в розглянутому обсязі швидкості однакові у всіх просторових точках (але можуть змінюватися з часом).

На перший погляд, ми змінили сформульовану раніше основну задачу механіки – визначити закон руху. Однак, в задачах руху рідини, як правило, бувають важливі інші характеристики: витрата рідини, розподіл тисків, сили опору, підйомна сила крила і т.д. Всі ці та багато інших характеристик можуть бути розраховані, якщо відомо розподіл швидкостей рідини. Фактично ми визнаємо, що суцільна середу володіє нескінченно великим числом ступенів свободи. Так одна матеріальна точка володіє трьома ступенями свободи, при безперервному описі кожна геометрична точка розглядається в деякому сенсі як матеріальна. Зокрема, ми визначаємо вектор швидкості (три його компоненти) в кожній точці, число яких, очевидно, нескінченно. При дискретно описі ми повинні задати швидкості V⃗ i (i = 1,2,3 …) V → i (i = 1,2,3 …) для кожної частки (умовно кажучи, вектор швидкості, як функцію номера частки), натомість ми визначаємо швидкість як функцію трьох безперервних координат V⃗ (x, y, z) V → (x, y, z).

Наочно уявити собі векторне поле досить скрутно – в кожній точці необхідно зобразити вектор, що звичайно неможливо. Тому використовуються кілька спрощених способів графічного представлення векторних полів. Найбільш часто зустрічається зображення векторних за допомогою ліній поля – лінії, дотичні до яких збігаються з вектором поля (рис. 102).

У розглянутому випадку поля швидкостей – лінія поля називаються лініями струму. Лінія струму – така лінія, дотична до якої в кожній точці співпадає з напрямком вектора швидкості в даній точці. На лініях струму прийнято вказувати напрямок руху рідини. Зауважимо, що лінію струму можна провести через будь-яку точку, тому число ліній, їх густота визначаються виключно естетичними міркуваннями.

Сімейство ліній струму досить наочно представляє рух рідини в деякій області (рис. 103). Виходячи з визначення, можна встановити їх загальні властивості:

Лінії струму не перетинаються (в іншому випадку, в точці перетину можна побудувати дві дотичних, тобто в одній точці, швидкість рідини має два значення, що абсурдно).
Лінії струму не мають зламів (в точці зламу знову можна побудувати дві дотичних).
Лінії струму починаються на джерелах і закінчуються на точках стоку рідини.
Якщо рух рідини є стаціонарним, то лінії струму збігаються з траєкторіями руху частинок рідини. У нестаціонарному потоці, лінії струму змінюються з часом, тому траєкторія окремо взятій частинки відрізняється від лінії струму. У цьому випадку лінії струму слід розглядати як допоміжні математичні ілюстрації, що не мають явного фізичного сенсу.

Завдання для самостійної роботи.

Побудуйте сімейство ліній струму однорідного поля швидкостей.
Намалюйте сімейство ліній струму, витікаючих в усі сторони від невеликого джерела.

Посилання на основну публікацію