Головні осі інерції і головні моменти інерції

Через будь-яку точку площини перетину можна провести безліч пар взаємно перпендикулярних осей. Так як сума двох осьових моментів інерції перерізу являє собою полярний момент і є постійною величиною, то, переміщаючи систему координат, можна підібрати таке положення осей, в якому один з обраних моментів інерції буде максимальним, а другий – мінімальним. Розглянемо залежність між моментами інерції щодо осей x0, y0 і моментами інерції щодо осей x і y, поверненими на кут α відносно x0, y0. Знайдемо такі значення кута α, при яких моменти інерції перпендикулярних осей візьмуть свої максимальне і мінімальне значення. Для цього знайдемо першу похідну по куту повороту від Ix, Iy і прирівняємо її нулю (математичне правило знаходження екстремумів функції).

Отримана формула визначає положення двох взаємно перпендикулярних осей, момент інерції щодо однієї з яких максимальний, момент інерції щодо іншої мінімальний. Такі осі носять назву головних осей інерції. Моменти інерції відносно таких осей називаються головними моментами інерції. При цьому відцентровий момент дорівнює нулю.
Осі, що проходять через центр ваги перерізу, носять назву центральних осей. У практичних розрахунках інтерес представляють головні моменти інерції щодо центральних осей, їх називають головними центральними моментами інерції, а такі осі – головними центральними осями. Так як інтерес представляють тільки центральні осі, то для стислості їх називають просто головними осями, і осьові моменти інерції, обчислені щодо таких осей називають просто головними моментами інерції.
Однією з головних осей інерції є вісь, що проходить через центр симетрії площині перетину, друга – перпендикулярна їй. Вісь симетрії і будь перпендикулярна їй утворюють систему головних осей. Якщо перетин має кілька осей симетрії (наприклад, круг, квадрат, рівносторонній трикутник), то всі центральні осі є головними і всі центральні моменти рівні.

Посилання на основну публікацію