Гармонійна хвиля на струні

Хвиля це коливання, що розповсюджується в просторі. Тому функція, що описує хвилю повинна залежати як від часу, так і від просторових координат. Для отримання такої функції, розглянемо найпростіший приклад виникнення і поширення хвилі вздовж довгого ланцюжка кульок, пов’язаних пружними нитками (Рис. 277). Хай крайній кулька починає здійснювати гармонічні коливання. При його зміщенні від положення рівноваги з деяким запізненням почне рухатися його найближчий сусід, який потягне за собою наступний і так далі. Причому рух кожного наступного кульки буде запізнюватися в порівнянні з попереднім. Через чверть періоду після початку коливання першого кульки він змінить напрямок руху на протилежний, в цей же час деякі з кульок будуть продовжувати рух у колишньому напрямі. Вони змінять напрямок рух трохи пізніше. Таки чином по ланцюжку буде поширюватися хвиля. Після деякого проміжку часу всі кульки прийдуть у рух.

Якщо перший кульку здійснює гармонійні коливання під дією зовнішньої сили, то сила натягу нитки служить періодичної змушує силою для другого кульки, тому другий кулька в сталому режимі також буде здійснювати гармонічні коливання з тією ж частотою, що і перший. Продовжуючи ці міркування, можемо прийти до висновку, що в сталому режимі всі кульки будуть здійснювати гармонічні коливання з однією і тією ж частотою, рівній частоті змушує сили, діючої на перший кульку. Ми не будемо детально описувати перехідною режим встановлення коливань, а відразу розглянемо більш простий режим сталих коливань, коли всі кульки коливаються з однаковими частотами і амплітудами (Мал. 278).

Пронумеруємо всі кульки цілочисловим індексом n (n = 0,1,2 …). В якості координати кожної кульки виберемо його відхилення від його власного положення рівноваги Un (t). На наведеному малюнку для наочності всі відхилення відбуваються в напрямку, перпендикулярному ланцюжку в положенні рівноваги. Згідно з проведеними міркуванням ці відхилення змінюються по гармонійним законам з постійними частотами і амплітудами, тому описуються функціями

Un (t) = Acos (ωt + φ) Un (t) = Acos⁡ (ωt + φ), (1)
де φn – фаза коливань n-го кульки. Так як амплітуди і частоти коливань всіх кульок рівні, то єдине, чим вони можуть відрізнятися, так це фази.

Так як всі кульки в розглянутій ланцюжка рівноправні, то різниці фаз коливань двох сусідніх кульок повинні бути рівні. Позначимо цю різницю фаз – Δφ. Вона дійсно повинна бути негативною – адже коливання кожного наступного запізнюються по відношенню до попереднього. З урахуванням цього зауваження функцію (1) можна представити у вигляді

Un (t) = Acos (ωt-nΔφ) Un (t) = Acos⁡ (ωt-nΔφ). (2)
Фаза коливань крайнього кульки прийнята рівною нулю – як зазвичай вибір початкової фази довільний, істотну роль грають тільки різниці фаз.

Фактично набір функцій (2) можна розглядати як функцію двох аргументів: часу t і номера кульки, яка визначається його просторовим положенням. Номер кульки можна виразити через його координату

n = xnl n = xnl, (3)
тут ми ввели вісь Ox, спрямовану уздовж ланцюжка, тоді xn – координата n-го кульки, l – відстань між центрами кульок. Нарешті, «забудемо», що наша ланцюжок складається з дискретних кульок, тобто будемо вважати, що кульки малі настільки [1], що ми сприймаємо ланцюжок як суцільну нитку. Тоді координату кульки слід розглядати як координату деякої точки нитки і вважати цю координату безперервною. У цій межі вираз (2) можна замінити функцією двох безперервних змінних

U (x, t) = Acos (ωt-kx) U (x, t) = Acos⁡ (ωt-kx). (4)
Тут ми позначили k = Δφl k = Δφl, причому при переході до безперервної нитки чисельник і знаменник цього дробу втрачають свій сенс (кожне з них прагне до нуля). Однак їхнє ставлення може надати кінцевим, сенс цього параметра ми з’ясуємо трохи нижче.

Отже, ми отримали функцію (4), яка описує хвилю, що поширюється уздовж пружною нитки.

Хвиля, описувана функцією (4), називається гармонійної хвилею. Якщо залежність обурення середовища від часу описується гармонійної функцією (нагадуємо, синус або косинус) з однією частотою, то хвиля називається монохроматичній [2]. Відзначимо, що просторова структура монохроматичному хвилі може мати вигляд, відмінний від гармонійної, описуваної функцією (4).

У природі існують хвилі, які описуються іншими функціями, відмінними від отриманої нами. Однак, гармонійні хвилі є найбільш простими з точки зору їх математичного опису (в тому ж сенсі найбільш простими є і гармонійні коливання). Крім того, будь хвиля може бути представлена ​​у вигляді суми (суперпозиції) гармонійних хвиль із застосуванням розкладання Фур’є, про який говорили при вивченні коливань. Нарешті, як це не дивно, гармонійні хвилі досить широко поширені в природі. Тому наше вивчення хвиль грунтується на функціях, подібних (4).

Останнє співвідношення найбільш просто для запам’ятовування (і розуміння!): За один період коливання хвиля проходить відстань, рівну довжині хвилі.

Слід підкреслити, для реальних хвиль частота і довжина хвилі не є незалежними параметрами. Якщо її частота задається частотою коливань джерела, то швидкість поширення хвиль залежить від властивостей середовища. Тому довжина хвилі визначається частотою джерела і швидкістю поширення хвиль. Зауважимо, що для багатьох хвиль швидкість їх поширення також може залежати від частоти. Явище залежності швидкості хвилі від її частоти називається дисперсією хвиль. Крім того, в деяких випадках швидкість хвилі залежить і від її амплітуди.

Ми розглянули і математично описали поперечну хвилю, якої напрямок руху частинок середовища перпендикулярно напрямку поширення хвилі. За допомогою розглянутого прикладу (пружна ланцюжок кульок) легко уявити собі подовжню хвилю, в якій напрямку руху частинок збігається з напрямком поширення самої хвилі (Ріс.281).

У такій хвилі всі кульки здійснюють гармонійні коливання щодо власного становища рівноваги, причому рух кожної кульки відбувається уздовж осі ланцюжка. Якщо в положенні рівноваги кульки розташовані на однаковій відстані один від одного, то координата n-го кульки задається формулою xn = nlxn = nl. В якості змінної величини, яка описує рух кожної кульки може виступати його зміщення відносного його власного положення рівноваги Un (t). У поздовжньої гармонійної хвилі ці функції описуються гармонійними функціями з однаковими частотами і амплітудами, але монотонно змінюються початковими фазами коливань. У цьому випадку хвиля являє собою поширюються області «згустків і розряджень» кульок.

Для поздовжньої хвилі, що розповсюджується уздовж ланцюжка кульок, також може бути проведений перехід до безперервної струні. У такому межі функція U (x, t) описує зсув деякої точки струни від її положення рівноваги – погодьтеся, не дуже наочна величина. Щоб зробити її поле зрозумілою уважно ознайомтеся з рис. 283: у верхньому ряду показана ланцюжок кульок в рівноважному стані; другий ряд ілюструє положення кульок в деякий момент часу біжучої хвилі; нижче у вигляді діаграми зображені зміщення кульок від їхніх власних положень рівноваги Un в цей же момент. Перехід до безперервної струні відповідає переходу до безперервного графіком залежності зсуву від координати U (x).

Поздовжня хвиля, що розповсюджується по суцільній струні, може бути описана і іншими характеристиками. Як вже неодноразово було відзначено, поздовжня хвиля являє собою набір поширюються «згустків і розряджень», в безперервному межі ці області відрізняються концентрацією часток (або щільністю струни). Ці області стиснення і розтягування возникаю через нерівномірний зміщення окремих ділянок струни.

Посилання на основну публікацію