Енергія і робота при обертальному русі

Формула обчислення роботи для поступального прямолінійного руху має вигляд: W = F · s (Н · м) або (Дж).

Для того, щоб вивести аналогічну формулу для обертального руху, необхідно силу F перетворити в момент сили M, а переміщення s, в кут Θ

Нехай для обертання колеса, радіусом r, прикладається сила F, як показано на малюнку нижче.

Робота при обертальному русі
Чому буде дорівнювати робота цієї сили?

Для обчислення роботи застосуємо формулу:

W = F · s
При обертальному русі переміщення s буде дорівнює добутку радіуса колеса r на його кут повороту Θ:

s = r · Θ
W = F · s = F · r · Θ
Момент М, створюваної силою F, обчислюється за формулою:

M = F · r
Таким чином, робота буде дорівнює:

W = F · r · Θ = M · Θ Дж
Ми отримали формулу обчислення роботи для обертального руху (кут повороту повинен бути зазначений в радіанах) – це твір моменту сили на кут повороту.

Обчислимо роботу, яку здійснить колесо автомобіля після 10 обертів, за умови, що до нього було додано постійний момент сили в 100 Н · м:

W = 100 · 10 · 2π = 6,28 · 103 Дж
Кінетична енергія обертального руху
Кінетична енергія об’єкта, масою m, що рухається поступально зі швидкістю v, обчислюється за формулою: K = 1/2 · (m · V2).

Для отримання формули обчислення кінетичної енергії для обертального руху необхідно замінити масу тіла m на момент інерції I, а швидкість v на кутову швидкість ω.

Формула зв’язку тангенциальной швидкості v і кутової швидкості ω виглядає наступним чином (докладніше дивись “Параметри обертального руху”):

v = r · ω
Підставами це співвідношення в попередню формулу:

K = 1/2 · m (r · ω) 2
Слід сказати, що дана формула розрахунку кінетичної енергії підходить тільки для матеріальної точки.

Формула для обчислення кінетичної енергії протяжного об’єкта буде виглядати наступним чином:

K = 1/2 · Σm (r · ω) 2
У разі, якщо всі матеріальні точки протяжного об’єкта обертаються з однаковою кутовою швидкістю, її можна винести за знак підсумовування:
K = 1/2 · ω2Σm · r2
Згадаймо формулу моменту інерції, і зробимо підстановку:

I = Σm · r2
K = 1/2 · ω2Σm · r2
K = 1/2 · ω2 · I
Закріпимо отримані теоретичні знання на практиці, вирішивши цікаве завдання.

Припустимо, що по похилій площині скочуються два циліндра однакової маси – порожнистий і цілісний. З’ясуємо, який з цих циліндрів скотиться швидше, тобто матиме більшу швидкість в кінці похилій площині.

Вирішуючи завдання подібного типу, треба розуміти, що, якби циліндри просто ковзали вниз по похилій площині без обертання, то їх потенційна енергія перетворювалася б у кінетичну енергію поступального руху:

m · g · h = 1/2 · m · v2

У нашому випадку, потенційна енергія циліндрів перетворюється в кінетичну енергію, як поступального, так і обертального руху:

m · g · h = 1/2 · m · v2 + 1/2 · I · ω2

Оскільки кутова швидкість обчислюється за формулою ω = v / r, отримаємо наступне рівність, і виведемо формулу для обчислення швидкості руху циліндрів:

mgh = 1 / 2mv2 + 1 / 2I (v / r) 2 = 1 / 2v2 (m + I / r2)

v = √ [(2mgh) / (m + I / r2)]

Для обох циліндрів всі параметри у формулі однакові, за винятком моменту інерції I (докладніше дивись “Момент інерції протяжного об’єкта”):

для полого циліндра: I = mr2;

для цілісного циліндра: I = 1 / 2mr2

Підставляємо відповідні значення для моменту інерції в формулу обчислення швидкості циліндрів, і проводимо нескладні алгебраїчні перетворення:

vп = √ [(2mgh) / (m + (mr2) / r2)] = √ [gh]

Vц = √ [(2mgh) / (m + (1 / 2mr2) / r2)] = √ [4gh / 3]

Співвідношення швидкостей циліндрів дорівнюватиме:

vп / Vц = √ [3/4] = 0,86

Таким чином, швидкість порожнього циліндра буде трохи нижче, ніж незбираного, отже, цілісний циліндр швидше скотиться по похилій площині.

З фізичної точки зору даний факт пояснюється досить просто. У підлогою циліндрі основна маса матеріальних точок зосереджена на краю циліндра (на відстані радіуса від його центру), в той час, як в цілісному циліндрі матеріальні точки розподілені рівномірно по всьому радіусу, тобто, при однаковій кутової швидкості в підлогою циліндрі кількість матеріальних точок, що володіють високою тангенциальной швидкістю, буде більше, ніж в цілісному, тому, полому циліндру знадобиться витратити більше енергії на свій розгін.

Посилання на основну публікацію