Зведення дробу до степеня

Дріб являє собою відношення чисельника до знаменника, причому знаменник не повинен дорівнювати нулю, а чисельник може бути будь-який.

При зведенні будь дробу в довільну ступінь потрібно зводити окремо числівник і знаменник дробу в цей ступінь, після чого ми повинні ці ступеня порахувати і таким чином отримаємо дріб, зведену в ступінь.

Наприклад:

(2/7) ^ 2=2 ^ 2/7 ^ 2=4/49

(2/3) ^ 3=(2/3) • (2/3) • (2/3)=2 ^ 3/3 ^ 3

Негативна ступінь
Якщо ми маємо справу з негативною ступенем, то ми повинні спочатку “Перевернути дріб”, а вже потім зводити її до степеня за правилом написаному вище.

(2/7) ^ (-2)=(7/2) ^ 2=7 ^ 2/2 ^ 2

Буквена ступінь
При роботі з літерними значеннями такими як “x” і “у” зведення в ступінь відбувається за тим же правилом що й раніше.

Також ми можемо перевірити себе звівши дріб ? в 3 ступінь в результаті чого ми отримаємо ?*?*?=1/8 що в сутності теж саме що і

(1/2) ^ 3=1/8.

Літерне зведення в ступінь x ^ y

Множення і ділення дробів зі ступенями
Якщо ми множимо ступеня з підставами, то сама підстава залишається колишнім, а показники ступенів ми складаємо. Якщо ж ми ділимо ступеня з однаковим підставами, тоді підставу ступеня також залишається колишнім, а показники ступенів віднімаються.

Це дуже легко можна показати на прикладі:

(3 ^ 23)*(3 ^ 8)=3 ^ (23 +8)=3 ^ 31

(2 ^ 4) / (2 ^ 3)=2 ^ (4-3)=2 ^ 1=2

Теж саме ми могли б отримати якби просто звели в ступінь 3 та 4 окремо знаменник і чисельник відповідно.

Зведення дробу зі ступенем в ще одну ступінь
При зведенні дробу, яка вже знаходиться в ступені, ще раз на ступінь ми повинні спочатку зробити внутрішнє зведення в ступінь після чого переходити в в зовнішню частину зведення в ступінь. Іншими словами ми можемо просто напросто перемножити ці ступені і звести дріб в отриману ступінь.

Наприклад:

(2 ^ 4) ^ 2=2 ^ 4. 2=2 ^ 8

Піднесення до одиницю, квадратний корінь
Також не можна забувати що зведення абсолютно будь дробу в нульову ступінь дасть нам 1, так само як і будь-яке інше число при зведенні в ступінь рівну нулю ми отримаємо 1.

Звичайний квадратний корінь також можна представити у вигляді ступеня дробу

Квадратний корінь 3=3 ^ (1/2)

Якщо ж ми маємо справу з квадратним коренем під яким знаходиться дріб, то ми можемо представити цю дріб у чисельнику якого буде знаходиться квадратний корінь 2-ступеня (тому квадратний корінь)

А в знаменнику також буде знаходиться квадратний корінь, тобто іншими словами ми будемо бачити відношення двох коренів, це може стане в нагоді для вирішення деяких завдань і прикладів.

Якщо ми зведемо дріб, яка знаходиться під квадратним коренем в другу ступінь то ми отримаємо ту ж саму дріб.

Твір двох дробів під одним ступенем буде дорівнює добутку цих двох дробів, кожна окремо з яких буде під своїм ступенем.

Пам’ятайте: на нуль ділити не можна!
Також не варто забувати про дуже важливий зауваженні для дробу такий як знаменник не повинен дорівнювати нулю. Надалі в багатьох рівняннях ми будемо використовувати це обмеження, зване ОДЗ-область допустимих значень

При порівнянні двох дробів з одним і тим же підставою але різними ступенями, більша буде та дріб у якої ступінь буде більше, а меншою та у якої ступінь менше, при рівності не тільки підстав, але і ступенів, дріб вважається однаковою.

Приклади:

наприклад: 14 ^ 3. 8 / 14 ^ (-0. 2)=14 ^ (3. 8-0. 2)=139. 6

6 ^ (1, 77) • 6 ^ (-0, 75)=6 ^ (1, 77 + (-0, 75))=79, 7-1, 3=78, 6.

Посилання на основну публікацію