Як графічно вирішити рівняння?

Іноді рівняння вирішують графічним способом. Для цього треба перетворити рівняння так (якщо воно вже не представлено в перетвореному вигляді), щоб ліворуч і праворуч від знака рівності стояли вирази, для яких легко можна намалювати графіки функцій. Наприклад, дано таке рівняння:
x² – 2x – 1 = 0

Якщо ми ще не вивчали рішення квадратних рівнянь алгебраїчним способом, то можемо спробувати зробити це або розкладанням на множники, або графічно. Щоб вирішити подібне рівняння графічно, подамо його у такому вигляді:
x² = 2x + 1

З такого уявлення рівняння випливає, що потрібно знайти такі значення x, при яких ліва частина буде дорівнює правій.

Як відомо, графіком функції y = x² є парабола, а y = 2x + 1 – пряма. Координата x точок координатної площини, що лежать як на першому графіку, так і на другому (тобто точок перетину графіків) якраз і є тими значеннями x, при яких ліва частина рівняння буде дорівнює правій. Іншими словами, координати x точок перетину графіків є корінням рівняння.

Графіки можуть перетинатися в декількох точках, в одній точці, взагалі не перетинатися. Звідси випливає, що рівняння може мати кілька коренів, або один корінь, або взагалі їх не мати.

Розглянемо приклад простіше:
x² – 2x = 0 або x² = 2x

Намалюємо графіки функцій y = x² і y = 2x:

Перетин параболи і прямої

Як видно з креслення, парабола і пряма перетинаються в точках (0; 0) і (2, 4). Координати x цих точок відповідно рівні 0 і 2. Значить, рівняння x² – 2x = 0 має два корені – x1 = 0, x2 = 2.
Перевіримо це, вирішивши рівняння винесенням загального множника за дужки:
x² – 2x = 0
x (x – 2) = 0

Нуль в правій частині може вийти або при x рівному 0, або 2.

Причина, по якій ми не стали графічно розв’язувати рівняння x² – 2x – 1 = 0 в тому, що в більшості рівнянь корінням є речові (дробові) числа, а точно визначити на графіку значення x складно. Тому для більшості рівнянь графічний спосіб вирішення не є кращим. Однак знання цього способу дає більш глибоке розуміння зв’язку між рівняннями і функціями.

Посилання на основну публікацію