Властивості ступенів з основами

Існує три властивості ступенів з підставами і натуральними показниками.

Твір двох ступенів з підставами одно висловом, де підстава те ж саме, а показник є сума показників вихідних множників.
Приватне двох ступенів з підставами одно висловом, де підстава те ж саме, а показник є різниця показників вихідних множників.
Зведення ступеня числа в ступінь одно висловом, в якому підстава – це те ж саме число, а показник – це добуток двох ступенів.
Будьте уважні! Правил щодо додавання і віднімання ступенів з підставами не існує.

Запишемо ці властивості-правила у вигляді формул:

am × an = am + n
am ÷ an = am-n
(Am) n = amn
Тепер розглянемо їх на конкретних прикладах і спробуємо довести.

52 × 53 = 55 – тут ми застосували правило; а тепер уявімо як би ми вирішували це приклад, коли б не знали правила:

52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 – п’ять у квадраті – це п’ять помножене на п’ять, а в кубі – добуток трьох п’ятірок. У результаті вийшло твір п’яти п’ятірок, але це щось інше як п’ять в п’ятого ступеня: 55.

39 ÷ 35 = 39-5 = 34. Запишемо ділення у вигляді дробу:
Розподіл ступенів

Її можна скоротити:
Скорочення показників при діленні

В результаті отримаємо:
Результат ділення ступенів

Таким чином ми довели, що при діленні двох ступенів з підставами, їх показники треба віднімати.

Однак при діленні не можна, щоб дільник був рівний нулю (так як на нуль ділити не можна). Крім того, оскільки ми розглядаємо мірі тільки з натуральними показниками, то не можемо в результаті віднімання показників отримати число менше, ніж 1. Тому на формулу am ÷ an = am-n накладаються обмеження: a ≠ 0 і m> n.

Перейдемо до третього властивості:
(22) 4 = 22 × 4 = 28

Запишемо в розгорнутому вигляді:
(22) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28

Можна прийти до такого висновку і логічно розмірковуючи. Потрібно перемножити два в квадраті чотири рази. Але в кожному квадраті дві двійки, значить всього двійок буде вісім.

Посилання на основну публікацію