Вирішити систему рівнянь методом алгебраїчного додавання

Суть даного методу полягає в тому, щоб скласти один з одним ліві частини рівнянь системи, прирівнявши до них суму правих частин тих же рівнянь. Додавання може бути замінене відніманням. Основна мета подібних дій – це позбутися однієї з змінних, після чого вирішити отримане рівняння з однією змінною легко.

Розглянемо приклад:
| 3x – y + 2 = 0
| -x + Y + 4 = 0

Складемо рівняння системи:
(3x – y + 2) + (-x + y + 4) = 0 + 0
3x – y + 2 – x + y + 4 = 0
2x + 6 = 0

В результаті ми отримали рівняння з однією змінною, яке просто вирішити:
x = -6 / 2
x = -3

Підставляючи x в будь лінійне рівняння системи, отримуємо y:
– (- 3) + y + 4 = 0
y = -7

Таким чином рішенням запропонованої системи лінійних рівнянь з двома змінними є точка з координатами (-3; -7).

Розглянемо інший приклад:
| 2x + 6y = 120
| 2x – 2y = 20

Тут вже треба не складати ліві і праві частини рівнянь, а віднімати:
(2x + 6y) – (2x – 2y) = 120 – 20
2x + 6y – 2x + 2y = 100
8y = 100
y = 12.5

Знаходимо x:
2x – 2 * 12.5 = 20
2x = 20 + 25
x = 45/2
x = 22.5
Відповідь: (22.5; 12.5)

Тепер розглянемо більш складний третій приклад, коли ні при додаванні, ні при відніманні жодна з змінних не знищується:
| -4.5x – 2y + 12 = 0
| 10x + 3y – 7.5 = 0

Помножимо перше рівняння на 3, а друге на 2:
| 3 * (-4.5x – 2y + 12) = 0 * 2
| 2 * (10x + 3y – 5) = 0 * 2

Тоді отримаємо таку систему лінійних рівнянь з двома змінними:
| -13.5x – 6y + 36 = 0
| 20x + 6y – 10 = 0

Як бачимо, при додаванні рівнянь змінна y знищується і в підсумку виходить рівняння з однією змінною:
20x – 10 – 13.5x + 36 = 0
6.5x = -26
x = -26 / 6.5
x = -4

Знаходимо y:
-4.5 * (-4) – 2y + 12 = 0
18 – 2y + 12 = 0
-2y = -30
y = 15

Відповідь: x = -4, y = 15

Посилання на основну публікацію