Тотожності

Розглянемо дві рівності:

1. a12*a3=a7*a8

Це рівність буде виконуватися при будь-яких значеннях змінної а. Областю допустимих значень для того рівності буде все безліч дійсних чисел.

2. a12: a3=a2*a7.

Це нерівність буде виконуватися для всіх значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде все безліч дійсних чисел, крім нуля.

Про кожного з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірно при будь-яких допустимих значеннях змінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.

Поняття тотожності
Тотожність-це рівність, вірне при будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо в дане рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, то повинно вийти правильне числове рівність.

Варто відзначити, що вірні числові рівності теж є тотожністю. Тотожностями, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b=b + a;

4. a + (b + c)=(a + b) + c;

5. a*b=b*a;

6. a*(b*c)=(a*b)*c;

7. a*(b + c)=a*b + a*c;

8. a + 0=a;

9. a*0=0;

10. a*1=a;

11. a*(-1)=-a.

Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно рівні, то такі вислови називають тотожно рівними. Нижче представлені кілька прикладів тотожно рівних виразів:

1. (A2) 4 і a8;

2. a*b*(-a ^ 2*b) і-a3*b2;

3. ((X3*x8)/x) і x10.

Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожне рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.

Приклади тотожностей
Приклад 1: чи є тотожністю наступні рівності:

1. a + 5=5 + a;

2. a*(-b)=-a *b;

3. 3*a*3*b=9*a*b;

4. a-b=b-a.

Не всі представлені вище вираження будуть тотожностями. З цих рівностей тотожностями є лише 1, 2 і 3 рівності. Які б числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.

А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Бо не при всіх допустимих значеннях це рівність буде виконуватися. Наприклад, при значеннях a=5 і b=2 вийде наступний результат:

5-2=2-5;

3=-3.

Дане рівність не вірно, так як число 3 НЕ дорівнює числу-3.

Посилання на основну публікацію