Точки максимуму і мінімуму – екстремуми функції

Крім, визначення проміжків зростання та спадання функції, за допомогою похідної при дослідженні функції знаходять точки максимуму і мінімуму цієї функції.

Точки максимуму і мінімуму функції називають ще точками екстремуму.

Для відшукання точок екстремуму існує окремий ознака.

Достатня умова існування екстремуму в точці.

Нехай f (x) деяка дифференцируемая на інтервалі (a; b) функція. Точка х0 належить цьому інтервалу і f ‘(x0)=0.

Тоді:

1. якщо при переході через стаціонарну точку х0 функція f (x) і її похідна змінює знак, з «плюса» на «мінус», тоді точка х0 є точкою максимуму функції.
2. якщо при переході через стаціонарну точку х0 функція f (x) і її похідна змінює знак, з «мінуса» на «плюс», тоді точка х0 є точкою мінімуму функції
Для функції розглянутої вище знайдемо точки екстремуму функції і значення функції в них.

Ми знайшли дві стаціонарні точки: х1=1/3, х2=1.

Так як зліва від точки х=1/3 функція зростає, а праворуч убуває, точка х=1/3 буде точкою максимуму.

Точка х=1 буде точкою мінімуму, так як сівби від неї функції убуває, а праворуч зростає.

Порахуємо значення функції в точках максимуму і мінімуму.

f (1/3)=(1/3) ^ 3-2*(1/3) ^ 2 +1 / 3=4/27.

f (1)=0.

Посилання на основну публікацію