Ступінь з раціональним показником

Вираз an (ступінь з цілим показником) буде визначено у всіх випадках,за винятком випадку,коли a=0 і при цьому n менше або дорівнює нулю.

властивості ступенів
Основні властивості ступенів з цілим показником:

am*an=a (m + n);

am: an=a (mn) (при a не в рівному нулю);

(am) n=a (m*n);

(a*b) n=an*bn;

(a / b) n=(an) / (bn) (при b не в рівному нулю);

a1=a;

a0=1 (при a не в рівному нулю);

Ці властивості будуть справедливі для будь-яких чисел a,b і будь-яких цілих чисел m і n.Варто відзначити також наступне властивість:

Якщо m > n,то am > an,при a > 1 і am

Можна узагальнити поняття ступеня числа на випадки,коли в якості показника ступеня виступають раціональні числа.При цьому хотілося б,щоб виконувалися всі вище перераховані властивості або хоча б частину з них.

Наприклад,при виконанні властивості (am) n=a (m*n) виконувалося б наступне рівність:

(a (m / n)) n=am.

Це рівність означає,що число a (m / n) повинно бути коренем n-го ступеня з числа am.

Ступенем деякого числа a (більшого нуля) з раціональним показником r=(m / n),де m-деяке ціле число,n-деяке натурально число більше одиниці,називається число n?(am).Виходячи з визначення: a (m / n)=n?(am).

Для всіх позитивних r буде визначено ступінь числа нуль.За визначенням 0r=0.Відзначимо також,що за будь цілому,будь-яких натуральних m і n,і позитивному а вірно наступне рівність: a (m / n)=a ((mk) / (nk)).

Наприклад: 134 (3/ 4)=134 (6/8)=134 (9/12).

З визначення ступеня з раціональним показником безпосередньо слід той факт,що для будь-якого позитивного а і будь-якого раціонального r число ar буде позитивним.

Основні властивості ступеня з раціональним показником
Для будь-яких раціональних чисел p,q і будь-яких a > 0 і b > 0 вірні такі рівності:

1.(ap)*(aq)=a (p + q);

2.(ap): (bq)=a (p-q);

3.(ap) q=a (p*q);

4.(a*b) p=(ap)*(bp);

5.(a / b) p=(ap) / (bp).

Дані властивості випливають з властивостей коренів.Всі дані властивості доводяться аналогічним способом,тому обмежимося доказом тільки одного з них,наприклад,першого (ap)*(aq)=a (p + q).

Нехай p=m / n,aq=k / l,де n,l-деякі натуральні числа,а m,k-деякі цілі числа.Тоді потрібно довести,що:

(a (m / n))*(a (k / l))=a ((m / n) + (k / l)).

Спочатку наведемо дробу m / nk / l до спільного знаменника.Отримаємо дробу (m*l) / (n*l) і (k*n) / (n*l).Перепишемо ліву частину рівності за допомогою цих позначень і отримаємо:

(a (m / n))*(a (k / l))=(a ((m*l) / (n*l)))*(a ((k*n) / (n*l))).

Далі,використовуючи визначення ступеня з раціональним показником,властивості ступеня з цілим показником і властивості кореня,отримаємо:

(a (m / n))*(a (k / l))=(a ((m*l) / (n*l)))*(a ((k*n) / (n*l)))=(n*l)?(a (m*l))*(n*l)?(a (k*n))=(n*l)?((a (m*l))*(a (k*n)))=(n*l)?(a (m*l + k*n))=a ((m*l + k*n) / (n*l))=a ((m / n) + (k / l)).

Тобто отримали,що (a (m / n))*(a (k / l))=a ((m / n) + (k / l)),що й потрібно було довести.

Посилання на основну публікацію