Система двох рівнянь з двома невідомими

Системою двох рівнянь з двома невідомими називають два спільно розглянутих рівняння, з одними і тими ж невідомими.

Рішенням системи рівнянь з двома невідомими буде пара чисел, при підстановці яких в кожне з рівнянь системи вони перетворюються в справжні рівності.

a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Наприклад, рішенням наступної системи рівнянь будуть числа x = 2; y = 3:

5x + 10y = 40
5x-2y = 4

5 · 2 + 10 · 3 = 10 + 30 = 40
5 · 2-2 · 3 = 10-6 = 4
Кажуть, що пара чисел (2; 3) є рішенням даної системи рівнянь.

Слід розуміти, що навіть такі рівняння, як, наприклад, x = 2; y = 3 можна розглядати, як систему двох рівнянь з двома невідомими. дійсно:

1 · x + 0 · y = 2
0x + 1 · y = 3
Інша справа, що таку систему і вирішувати то не треба, бо спочатку відомі змінні x і y. Але, такі уявлення треба знати і пам’ятати, оскільки, в деяких випадках вони допомагають знайти рішення більш складних систем рівнянь.

Вирішувати систему двох рівнянь з двома невідомими можна декількома способами.

спосіб підстановки
Ідея способу підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь одне невідоме висловлюється через інше, після чого підставляється в друге рівняння, в якому виходить тільки одне невідоме.

Зрозуміти це висловлювання не так-то вже й просто, тому, краще все продемонструвати на простому прикладі.

5x + 6y = 60
x-y = 1
У другому рівнянні висловлюємо одне невідоме через інше:

5x + 6y = 60
x = 1 + y
Тепер у нас вийшла нова система рівнянь, в якій одне з рівнянь перейшло з вихідної системи рівнянь, а друге отримано підстановкою в це рівняння невідомого, виражене через інше невідоме:

5x + 6y = 60
5 (1 + y) + 6y = 60
Таким чином ми позбулися в другому рівнянні від невідомого x:

5x + 6y = 60
5 + 5y + 6y = 60
Друге рівняння тепер представлено у вигляді 0x + b · y = c:

5x + 6y = 60
5 + 11y = 60
Знаходимо рішення другого рівняння:

5x + 6y = 60
11y = 60-5 = 55 (y = 5)
Тепер залишилося підставити числове значення змінної y в перше рівняння і знайти x:

5x + 6 (5) = 60
y = 5

5x + 30 = 60; 5х = 60-30
y = 5

5х = 30
y = 5

х = 6
y = 5
Отриману нову систему рівнянь можна представити у вигляді двох рівнянь з двома невідомими:

1 · х + 0y = 6
0x + 1 · y = 5
Оскільки всі ми проводимо перетворення рівності були тотожними, вихідна система рівнянь буде рівносильна фінальної, а, значить, мати ті ж коріння (5; 6), які і будуть рішенням вихідної системи рівнянь.

При вирішенні системи двох рівнянь з двома невідомими способом підстановки не має значення яке невідоме висловлювати через інше – результат буде один і той же.

спосіб складання
Ідея рішення залишається незмінною – позбутися в одному з рівнянь від одного з невідомих. Шлях досягнення цієї мети в способі складання полягає в підборі коефіцієнтів, на які треба помножити обидві частини рівнянь, щоб коефіцієнти при одному з невідомих були однакові по модулю, але різні за знаком. Після цього рівняння складаються і вирішується нова система рівнянь, яка буде тотожна вихідної, оскільки всі проведені операції тотожні.

5x + 6y = 60
x-y = 1
Як і в першому випадку, позбудемося в другому рівнянні від невідомої y, для цього помножимо обидві частини другого рівняння на 6:

5x + 6y = 60
6x-6y = 6
Тепер складаємо перше і друге рівняння, і отримуємо нову систему рівнянь:

5x + 6y = 60
11x = 66
У новій системі рівнянь першого рівняння взято з вихідної системи, а друге є сумою рівнянь після виконаних перетворень. Подальший хід рішення повністю аналогічний способу підстановки:

5x + 6y = 60
x = 6

5 (6) + 6y = 60
x = 6

30 + 6y = 60
x = 6

6y = 60-30
x = 6

y = 5
x = 6
Графічний спосіб вирішення
Кожне з рівнянь, що входять в систему, можна розглядати як якусь формулу, яка задає певну функцію (поняття функції буде розглянуто трохи пізніше).

Оскільки функція має свій графік, що задається її формулою, його можна побудувати на координатної площині.

Так як рівняння у нас лінійні, то і графік у лінійної функції буде у вигляді прямої.

В результаті ми отримаємо дві прямі, координати точки перетину яких і будуть рішенням нашої системи рівнянь.

Треба сказати, що до цього методу вдаються досить рідко, оскільки він досить незручний і часто дає приблизні результати.

Посилання на основну публікацію