1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Рівняння, що наводяться до квадратних

Рівняння, що наводяться до квадратних

Є кілька класів рівнянь, які вирішуються приведенням їх до квадратних рівнянь. Одним з таких рівнянь є біквадратні рівняння.

Біквадратні рівняння
Біквадратні рівняння-це рівняння виду a*x ^ 4 + b*x ^ 2 + c=0, де a не дорівнює 0.

Біквадратні рівняння вирішуються за допомогою підстановки x ^ 2=t. Після такої підстановки, одержимо квадратне рівнянні щодо t. a*t ^ 2 + b*t + c=0. Вирішуємо отримане рівняння, маємо в одному випадку t1 і t2. Якщо на цьому етапі вийшов негативний корінь, його можна виключити з рішення, так як ми брали t=x ^ 2, а квадрат будь-якого числа є число позитивне.

Повертаючись до вихідних змінним, маємо x ^ 2=t1, x ^ 2=t2.

х1, 2=±?(t1), x3, 4=±?(t2).

Розберемо невеликий приклад:

9*x ^ 4 +5*x ^ 2-4=0.

Введемо заміну t=x ^ 2. Тоді вихідне рівняння прийме наступний вигляд:

9*t ^ 2 +5*t-4=0.

Вирішуємо це квадратне рівняння будь-яким з відомих способів, знаходимо:

t1=4/9, t2=-1.

Корінь-1 не підходить, так як рівняння x ^ 2=-1 не має сенсу.

Залишається другий корінь 4/9. Переходячи до вихідних змінним маємо наступне рівняння:

x ^ 2=4/9.

x1=-2 / +3, x2=2/3.

Це і буде рішенням рівняння.

Відповідь: x1=-2 / +3, x2=2/3.

Ще один з видів рівнянь, що приводяться до квадратних, є дробові раціональні рівняння. Раціональні рівняння-це рівняння у яких ліва і праві частини є раціональними виразами. Якщо в раціональному рівнянні ліва або права частини будуть дробовими виразами, то таке раціональне рівняння називається дробовим.

Схема рішення дробового раціонального рівняння
Загальна схема рішення дробового раціонального рівняння.

1. Знайти спільний знаменник всіх дробів, які входять в рівняння.

2. Помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник.

3. Вирішити отримане ціле рівняння.

4. Провести перевірку коренів, і виключити ті з них, які звертають в нуль спільний знаменник.

Розглянемо приклад:

Вирішити дробове раціональне рівняння: (x-3) / (x-5) + 1 / x=(x +5) / (x*(x-5)).

Будемо дотримуватися загальної схеми. Знайдемо спочатку загальний знаменник всіх дробів.

Отримаємо x*(x-5).

Помножимо кожну дріб на спільний знаменник і запишемо отримане ціле рівняння.

x*(x +3) + (x-5)=(x +5);

Спростимо отримане рівняння. Отримаємо,

x ^ 2 +3*x + x-5-x-5=0;

x ^ 2 +3*x-10=0;

Отримали просте наведене квадратне рівняння. Вирішуємо його будь-яким з відомих способів, отримуємо коріння x=-2 і x=5. Тепер виробляємо перевірку отриманих рішень. Підставляємо числа-2 та 5 в спільний знаменник.

При х=-2 спільний знаменник x*(x-5) не звертається до нуль, -2*(-2-5)=14. Значить число-2 буде з’являтися коренем вихідного дробового раціонального рівняння.

При х=5 спільний знаменник x*(x-5) стає рівним нулю. Отже, це число не є коренем вихідного дробового раціонального рівняння, так як там буде розподіл на нуль.

Відповідь: х=-2.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Плюс і мінус