1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Рішення показових рівнянь і нерівностей

Рішення показових рівнянь і нерівностей

аx=b-найпростіше показове рівняння. У ньому a більше нуля і а не дорівнює одиниці.

Рішення показових рівнянь
З властивостей показовою функції знаємо,що її область значень обмежена позитивними речовими числами.Тоді якщо b=0,рівняння не має рішень.Така ж ситуація має місце бути,в рівнянні де b

Тепер покладемо,що b > 0.Якщо в показовій функції підставу a більше одиниці,то функція буде зростаючою на всій області визначення.Якщо в показовій функції для підстави а виконана така умова 0 < a

Виходячи з цього і застосовуючи теорему про корінь,одержимо,що рівняння ax=b мати один єдиний корінь,при b > 0 і позитивному a не дорівнює одиниці.Щоб його знайти,необхідно представити b у вигляді b=ac.
Тоді очевидно,що з буде рішенням рівняння ax=ac.

Розглянемо наступний приклад: розв’язати рівняння 5 (x2-2*x-1)=25.

Уявімо 25 як 52,отримаємо:

5 (x2-2*x-1)=52.

Або що рівносильно:

x2-2*x-1=2.

Вирішуємо отримане квадратне рівняння будь-яким з відомих способів.Отримуємо два кореня x=3 і x=-1.

Відповідь: 3;-1.

Вирішимо рівняння 4x-5*2x + 4=0.Зробимо заміну: t=2x і отримаємо наступне квадратне рівняння:

t2-5*t + 4=0.
Вирішуємо це рівняння будь-яким з відомих способів.Отримуємо коріння t1=1 t2=4

Тепер вирішуємо рівняння 2x=1 і 2x=4.

Відповідь: 0; 2.

Рішення показових нерівностей
Рішення найпростіших показових нерівностей грунтується теж на властивостях зростання та спадання функції.Якщо в показовій функції підставу a більше одиниці,то функція буде зростаючою на всій області визначення.Якщо в показовій функції для підстави а виконана така умова 0 < a < 1,то дана функція буде спадною на всій множині дійсних чисел.

Розглянемо приклад: вирішити нерівність (0.5) (7-3*x) < 4.

Зауважимо,що 4=(0.5) 2.Тоді нерівність прийме вигляд (0.5) (7-3*x) < (0.5) (-2).Підстава показовою функції 0.5 менше одиниці,отже,вона убуває.У цьому випадку треба поміняти знак нерівності і не записувати тільки показники.

Отримаємо: 7-3*x >-2.

Звідси: х < 3.

Відповідь: х < 3.

Якби у нерівності підстава була більше одиниці,то при позбавленні від підстави,знак нерівності міняти було б не потрібно.

ПОДІЛИТИСЯ: