Рішення найпростіших тригонометричних нерівностей

Нерівності, що містять тригонометричні функції, при вирішенні зводяться до найпростіших неравенствам виду cos (t) > a, sint (t)=a і подібним. І вже найпростіші нерівності вирішуються. Розглянемо на різних прикладах способи вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.

Приклад 1. Вирішити нерівність sin (t) >=-1 / 2.

Малюємо одиничну окружність. Так як sin (t) за визначенням-це координата y, відзначаємо на осі Оу точку у=-1 / 2. Проводимо через неї пряму, паралельну осі Ох. У місцях перетину прямої з графіком одиничному колі відзначаємо точки Pt1 і Pt2. З’єднуємо двом відрізками початок координат з точками Pt1 і Pt2.

Рішенням даної нерівності будуть всі точки одиничного кола розташовані вище даних точок. Іншими словами рішенням буде дуга l. . Тепер необхідно вказати умови, за яких довільна точка буде належати дузі l.

Pt1 лежить в правій півкола, її ордината дорівнює-1 / 2, тоді t1=arcsin (-1 / 2)=-pi / 6. Для опису точки Pt1 можна записати наступну формулу:
t2=pi-arcsin (-1 / 2)=7*pi / 6. У підсумку отримуємо для t така нерівність:

-Pi / 6

Ми зберігаємо знаки нерівностей. А так як функція синус функція періодична, значить рішення будуть повторюватися через кожні 2*pi. Ця умова додаємо до отриманого нерівності для t і записуємо відповідь.

Відповідь:-pi / 6 +2*pi*n <=t <=7*pi / 6 + 2*pi*n, при будь-якому цілому n.

Приклад 2. Вирішити нерівність cos (t) < 1/2.

Намалюємо одиничну окружність. Так як згідно з визначенням cos (t) це координата х, відзначаємо на грфіке на осі Ох точку x=1 /2.
Проводимо через цю точку пряму, паралельну осі Оу. У місцях перетину прямої з графіком одиничному колі відзначаємо точки Pt1 і Pt2. З’єднуємо двом відрізками початок координат з точками Pt1 і Pt2.

 

Рішеннями будуть всі точки одиничного кола, які належати дузі l. . Знайдемо точки t1 і t2.

t1=arccos (1/ 2)=pi / 3.

t2=2*pi-arccos (1/2)=2*pi-pi / 3=5*pi / 6.

Отримали нерівність для t: pi / 3 < t < 5*pi / 6.

Так як косинус-це функція періодична, то рішення будуть повторюватися через кожні 2*pi. Ця умова додаємо до отриманого нерівності для t і записуємо відповідь.

Відповідь: pi / 3 +2*pi*n < t < 5*pi / 6 +2*pi*n, для будь-якого цілого n.

Приклад 3. Вирішити нерівність tg (t) <=1.

Період тангенса дорівнює pi. Знайдемо рішення, які належать проміжку (-pi / 2; pi / 2) права півколо. Далі скориставшись періодичністю тангенса, запишемо всі рішення даної нерівності. Намалюємо одиничну окружність і відзначимо на ній лінію тангенсів.

Якщо t буде рішення нерівності, то ордината точки Т=tg (t) повинна бути менше або дорівнює 1. Безліч таких точок становитиме промінь АТ. Безліч точок Pt, які будуть відповідати точкам цього променя-дуга l. Причому, точка P (-pi / 2) не належить цій дузі.

 

Знайдемо умову, за якої деяка точка Pt буде належати дузі l.

t1=arctg (1)=pi / 4.

Отримуємо нерівність-pi / 2 < t <=pi / 4.

Враховуючи період тангенса записуємо відповідь.

Відповідь:-pi / 2 + pi*n < t <=pi / 4 + pi*n, для будь-якого цілого n.

Посилання на основну публікацію