Рішення дробових раціональних рівнянь

Цілий вираз-це математичний вираз, складене з чисел і буквених змінних за допомогою дій додавання, віднімання та множення. Також до цілим відносяться висловлювання, які мають у своєму складі поділ на якесь число, відмінне від нуля.

Поняття дробового раціонального виразу
Дробове вираження-це математичний вираз, який крім дій додавання, віднімання та множення, виконаних з числами і літерними змінними, а також ділення на число не рівне нулю, містить також поділ на вираження з літерними змінними.

Раціональні вирази-це всі цілі і дробові вирази. Раціональні рівняння-це рівняння, у яких ліва і праві частини є раціональними виразами. Якщо в раціональному рівнянні ліва і права частини будуть цілими виразами, то таке раціональне рівняння називається цілим.

Якщо в раціональному рівнянні ліва або права частини будуть дробовими виразами, то таке раціональне рівняння називається дробовим.

Приклади дробових раціональних виразів
1. x-3/x=-6*x +19

2. (X-4)/(2*x +5)=(x +7)/(x-2)

3. (X-3)/(x-5) + 1/x=(x +5)/(x*(x-5))

Схема рішення дробового раціонального рівняння
1. Знайти спільний знаменник всіх дробів, які входять в рівняння.

2. Помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник.

3. Вирішити отримане ціле рівняння.

4. Провести перевірку коренів, і виключити ті з них, які звертають в нуль спільний знаменник.

Так як ми вирішуємо дробові раціональні рівняння, то в знаменниках дробів будуть змінні. Значить, будуть вони і в загальному знаменнику. А в другому пункті алгоритму ми множимо на спільний знаменник, то можуть з’явиться сторонні корені. При яких загальний знаменник буде дорівнює нулю, а значить і множення на нього буде безглуздим. Тому наприкінці обов’язково робити перевірку отриманих коренів.

Розглянемо приклад:

Вирішити дробове раціональне рівняння: (x-3)/(x-5) + 1/x=(x +5)/(x*(x-5)).

Будемо дотримуватися загальної схеми: знайдемо спочатку загальний знаменник всіх дробів. Отримаємо x*(x-5).

Помножимо кожну дріб на спільний знаменник і запишемо отримане ціле рівняння.

(X-3)/(x-5)*(x*(x-5))=x*(x +3);
1/x*(x*(x-5))=(x-5);
(X +5)/(x*(x-5))*(x*(x-5))=(x +5);
x*(x +3) + (x-5)=(x +5);

Спростимо отримане рівняння. Отримаємо:

x ^ 2 +3*x + x-5-x-5=0;
x ^ 2 +3*x-10=0;

Отримали просте наведене квадратне рівняння. Вирішуємо його будь-яким з відомих способів, отримуємо коріння x=-2 і x=5.

Тепер виробляємо перевірку отриманих рішень:

Підставляємо числа-2 та 5 в спільний знаменник. При х=-2 спільний знаменник x*(x-5) не звертається до нуль, -2*(-2-5)=14. Значить число-2 буде коренем вихідного дробового раціонального рівняння.

При х=5 спільний знаменник x*(x-5) стає рівним нулю. Отже, це число не є коренем вихідного дробового раціонального рівняння, так як там буде розподіл на нуль.

Відповідь: х=-2.

Посилання на основну публікацію