Раціональні числа – це періодичні дроби

Як відомо, безліч раціональних чисел (Q) включає в себе безлічі цілих чисел (Z), яке в свою чергу включає безліч натуральних чисел (N). Окрім цілих чисел в раціональні числа входять дробу.

Чому ж тоді все безліч раціональних чисел розглядають іноді як нескінченні десяткові періодичні дроби? Адже крім дробів, вони включають і цілі числа, а також неперіодичні дроби.

Справа в тому, що всі цілі числа, а також будь-яку дріб можна представити у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Тобто для всіх раціональних чисел можна використовувати однаковий спосіб запису.

Як видається нескінченна періодична десяткова дріб? У ній повторювану групу цифр після коми беруть у дужки. Наприклад, 1,56 (12) – це дріб, у якої повторюється група цифр 12, т. Е. Дріб має значення 1,561212121212 … і так без кінця. Повторювана група цифр називається періодом.

Однак у подібному вигляді ми можемо уявити будь-яке число, якщо будемо вважати його періодом цифру 0, яка також повторюється без кінця. Наприклад, число 2 – це те ж саме, що 2,00000 …. Отже, його можна записати у вигляді нескінченного періодичного дробу, т. Е. 2, (0).

Те ж саме можна зробити і з будь-якої кінцевої дробом. Наприклад:

0,125 = 0,1250000 … = 0,125 (0)

Однак на практиці не використовують перетворення кінцевої дробу в нескінченну періодичну. Тому поділяють кінцеві дроби і нескінченні періодичні. Таким чином, правильніше говорити, що до раціональних числах належать

всі цілі числа,
кінцеві дробу,
нескінченні періодичні дроби.
При цьому просто пам’ятають, що цілі числа і кінцеві дробу представимо в теорії у вигляді нескінченних періодичних дробів.

З іншого боку, поняття кінцевої і нескінченної дробу вживані до десятковим дробям. Якщо говорити про звичайних дробах, то як кінцеву, так і нескінченну десяткову дріб можна однозначно представити у вигляді звичайного дробу. Значить, з точки зору звичайних дробів, періодичні та кінцеві дроби – це одне і те ж. Крім того, цілі числа також можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, якщо уявити, що ми ділимо це число на 1.

Як представити десяткову нескінченну періодичну дріб у вигляді звичайного? Найчастіше використовують приблизно такий алгоритм:

Приводять дріб до виду, щоб після коми виявився тільки період.
Множать нескінченну періодичну дріб на 10 або 100 або … так, щоб кома пересунулася вправо на один період (т. Е. Один період виявився в цілій частині).
Прирівнюють вихідну дріб (a) змінної x, а отриману шляхом множення на число N дріб (b) – до Nx.
З Nx віднімають x. З b вичитав a. Т. е. Складають рівняння Nx – x = b – a.
При вирішенні рівняння виходить звичайна дріб.
Приклад перекладу нескінченного періодичного десяткового дробу в звичайну дріб:
x = 1,13333 …
10x = 11,3333 …
10x * 10 = 11,33333 … * 10
100x = 113,3333 …
100x – 10x = 113,3333 … – 11,3333 …
90x = 102

Посилання на основну публікацію