При дослідженні функції дуже часто доводиться застосовувати похідні. Однією з основних завдань при дослідженні функції є визначення проміжків зростання та спадання функції. Це дослідження дуже легко можна провести за допомогою похідної функції.
Ознаки зростання функції
Якщо f ‘(x)> 0 на деякому проміжку, то функція f (x) зростає на даному проміжку
Ознака спадання функції
Якщо f ‘(x) <0 на деякому проміжку, то функція f (x) спадає на даному проміжку.
Суворе доказ цих двох ознак вивчається в курсі математичного аналізу, тут же ми його наводити не будемо.
Застосування цих ознак на конкретному прикладі
Знайти проміжки зростання та спадання функції f (x)=x ^ 3-2*x ^ 2 + x.
Знайдемо похідну цієї функції f ‘(x)=(x ^ 3-2*x ^ 2 + x)’=3*x ^ 2-4*x +1.
Знайдемо стаціонарні точки, тобто точки, в яких похідна дорівнює нулю.
Вирішимо рівняння f ‘(x)=0.
3*x ^ 2-4*x +1=0.
Це нескладне квадратне рівняння вирішуємо будь-яким з відомих вам способів, отримуємо два кореня: х1=1/3, х2=1.
Визначимо знак похідної в проміжках на які ці два кореня розбили всю числову вісь. Для цього розкладемо квадратний тричлен на множники.
Отримаємо f ‘(x)=3*(x-1/3)*(x-1).
Похідна позитивна на проміжку x <1/3 і на проміжку х> 1. А значить, функція на цих проміжках зростає.
На проміжку від 1/3 до 1 похідна негативна, отже, в цьому інтервалі функція спадає.