1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Приклади застосування похідної до дослідження функції

Приклади застосування похідної до дослідження функції

При дослідженні функції дуже часто доводиться застосовувати похідні. Однією з основних завдань при дослідженні функції є визначення проміжків зростання та спадання функції. Це дослідження дуже легко можна провести за допомогою похідної функції.

Ознаки зростання функції

Якщо f ‘(x)> 0 на деякому проміжку, то функція f (x) зростає на даному проміжку

Ознака спадання функції

Якщо f ‘(x) <0 на деякому проміжку, то функція f (x) спадає на даному проміжку.

Суворе доказ цих двох ознак вивчається в курсі математичного аналізу, тут же ми його наводити не будемо.

Застосування цих ознак на конкретному прикладі
Знайти проміжки зростання та спадання функції f (x)=x ^ 3-2*x ^ 2 + x.

Знайдемо похідну цієї функції f ‘(x)=(x ^ 3-2*x ^ 2 + x)’=3*x ^ 2-4*x +1.

Знайдемо стаціонарні точки, тобто точки, в яких похідна дорівнює нулю.

Вирішимо рівняння f ‘(x)=0.

3*x ^ 2-4*x +1=0.

Це нескладне квадратне рівняння вирішуємо будь-яким з відомих вам способів, отримуємо два кореня: х1=1/3, х2=1.

Визначимо знак похідної в проміжках на які ці два кореня розбили всю числову вісь. Для цього розкладемо квадратний тричлен на множники.

Отримаємо f ‘(x)=3*(x-1/3)*(x-1).

Похідна позитивна на проміжку x <1/3 і на проміжку х> 1. А значить, функція на цих проміжках зростає.

На проміжку від 1/3 до 1 похідна негативна, отже, в цьому інтервалі функція спадає.

ПОДІЛИТИСЯ: