Правила розкриття дужок

Дужки досить часто використовуються в алгебраїчних виразах, з їх допомогою встановлюється пріоритет математичних (логічних) операцій – дужки визначають в якій черговості будуть проводитися обчислення.

Якщо в алгебраїчному виразі присутні дужки, то в першу чергу виконуються дії, укладені в дужки.

3 · (5 + 2) = 3 · 7 = 21
3 · 5 + 2 = 15 + 2 = 17

Для спрощення алгебраїчних виразів найчастіше необхідно провести розкриття дужок або ж, навпаки, висновок в дужки.

Складові, які мають однакову буквену частину або ж зовсім її не мають, називаються подібними складовими:

3b + 2a · (9-11b) -5a · 7b + 11

Подібними складовими в вищенаведеному виразі є:

3b, 11b, 7b;
2a, 5a;
9, 11.

З подібними складовими можна проводити математичні операції:

3b + 2b = 5b
5a-4a = a
2c · 3c = 6c

Дії щодо спрощення виразів, що містять подібні доданки, називаються приведенням подібних доданків.

В основі правил розкриття дужок лежить розподільна властивість множення щодо складання, яке звучить наступним чином – для того, щоб помножити суму на число, треба помножити на це число всі складові, після чого провести підсумовування всіх отриманих творів.

3 (А + В + С) = 3А + 3В + 3С
Для полегшення розкриття дужок рекомендується провести наступні дії:

  • замінити всі різниці сумами: А-В = А + (- У);
  • якщо перед дужкою стоїть знак “мінус”, записати його, як множник (-1);
  • якщо перед дужкою стоїть знак “плюс”, чи не варто ніякого знака, записати множник (+1);
  • застосувати розподільний закон множення відносно додавання, враховуючи, що він виконується для будь-якої кількості доданків;
  • якщо є можливість, спростити отриманий вираз шляхом приведення подібних доданків.

Як приклад розкриємо дужки в наступному виразі:

– (5А-2,5 В + 3С) – 3А (5В-С) + (4В-8С)

Виконуємо перший крок, що полягає в заміні всіх різниць сумами, при цьому негативні члени вираження будемо укладати в квадратні дужки для наочності:

– (5А + [- 2,5 В] + 3С) + [-3А] (- 5В + [- С]) + (4В + [- 8С])

На другому етапі розкриття дужок ставимо перед дужками множники (-1) або (+1):

(-1) (5А + [- 2,5 В] + 3С) + [-3А] (- 5В + [- С]) + (+1) (4В + [- 8С])

Зверніть увагу, що перед дужкою (5В-С) стоїть множник (-3А), тому, перед цією дужкою не ставиться ні (-1), ні (+1).

Переходимо до третього етапу, власне процесу розкриття дужок, в основі якого лежить розподільний закон. Для зручності сприйняття інформації, будемо кожний доданок записувати в окремий рядок (рядки 2,3,4), після чого зведемо все разом (рядок 5):

(-1) (5А + [- 2,5 В] + 3С) + [-3А] (- 5В + [- С]) + (+1) (4В + [- 8С])
(-1) (5А + [- 2,5 В] + 3С) = (-1) (5А) + (-1) (- 2,5 В) + (-1) (3С) = 5А + (+2 , 5В) + (-3С) = 5А + 2,5 В – 3С
[-3А] (- 5В + [- С]) = (-3А) (- 5В) + (-3А) (- С) = 15АВ + 3АС
(+1) (4В + [- 8С]) = (+1) (4В) + (+1) (- 8С) = 4В + (8С) = 4В – 8С
– (5А-2,5 В + 3С) – 3А (5В-С) + (4В-8С) = 5А + 2,5 В-3С + 15АВ + 3АС + 4В-8С

Виконаємо дію щодо приведення подібних доданків, попередньо їх згрупувавши, скориставшись переместітельним законом складання:

5А + 2,5 В-3С + 15АВ + 3АС + 4В-8С = 5А + 2,5 В + 4В-3С-8С + 15АВ + 3АС = 5А + 6,5В-11С + 15АВ + 3АС

У деяких випадках буває зручно укласти деякі складові в дужки. У таких случваях слід дотримуватися два правила:

  • якщо перед дужками буде стояти знак “плюс”, то знаки всіх доданків, які будуть укладені в дужки, залишаються без змін;
  • якщо перед дужками буде стояти знак “мінус”, то знаки всіх доданків, які будуть укладені в дужки, замінюються на протилежний.

3А + 2В + 5АВ-3С + 4ВС
(3А + 2В) + 5АВ- (3С-4ВС)
(3А + 2В + 5АВ) + (- 3С + 4ВС)

Посилання на основну публікацію