1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Похідні елементарні функції

Похідні елементарні функції

Зростання і спадання функцій (достатній ознака). Якщо похідна даної функції існує і позитивна (негативна) для всіх значень x в інтервалі (a, b), то функція в цьому інтервалі зростає (відповідно, убуває).

Максимуми і мінімуми функції. Точка x = x0 називається точкою (відносного) максимуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх значень x із цієї околиці виконується нерівність f (x) <f (x0).

Точка x = x0 називається точкою (відносного) мінімуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх значень x із цієї околиці виконується нерівність f (x)> f (x0). Для максимуму і мінімуму функції, а також для значень функції в граничних точках її області визначення існує загальна назва – екстремум.

Необхідний ознака існування максимуму або мінімуму функції. У точках максимуму і мінімуму функцій y = f (x) її похідна f (x) (якщо вона існує в цих точках) звертається в нуль: f ‘(x) = 0.

Зауваження 1. Не при всякому значенні x0, для якого похідна f (x) дорівнює нулю (f ‘(x) = 0), функція f (x) має максимум або мінімум.

Зауваження 2. Функція y = f (x) може мати екстремум і в точках розриву своєї похідної f (x). Корені рівняння f (x) = 0 називаються стаціонарними точками.

Відшукання точок максимуму або мінімуму. Для відшукання точок (відносних) максимуму і мінімуму змінної величини надходять так:

1) висловивши згідно умові завдання дану змінну величину як функцію незалежної змінної, знаходять похідну цієї функції (нехай – (a, b) область визначення цієї функції);

2) прирівнюють похідну нулю, вирішують отримане рівняння f (x) = 0 і знаходять його коріння (стаціонарні точки). Крім них, знаходять ще й точки розриву похідної;

3) кожну з стаціонарних точок, а також точок розриву похідної досліджують на максимум і мінімум одним з наступних двох способів.

Перший спосіб.

Припустимо, що c, c, .., ck – корені рівняння f (x) = 0. У такому випадку визначаємо знаки похідної f (x) у кожному з інтервалів (a, ct), (cpc2), .., (ck , b). Тим самим буде з’ясовано, змінює і як саме похідна знак при переході (зліва направо) через кожну з точок c1, c2, .., ck. Якщо при переході, наприклад, через точку похідна змінює знак з мінуса на плюс, то в точці функція має мінімум, якщо з плюса на мінус – то максимум. Якщо ж знак похідної при переході, наприклад, через точку c2 не змінюється, то в цій точці функція не має екстремуму. Другий спосіб.

Нехай cp c2, .., ck – корені рівняння / ‘(x) = 0. Знаходимо другу похідну f’ (x) = 0 і визначаємо знак другої похідної при кожному із значень c, c2, .., c. Якщо, наприклад, в точці c f ‘(x) = 0, то в цій точці функція має максимум; якщо, наприклад, в точці cf ‘(x) = 0, то в цій точці функція має мінімум; якщо ж, наприклад, в точці c3 f ‘(x) = 0, то нічого певного сказати не можна. В останньому випадку слід звернутися до першого способу відшукання екстремуму функції.

Опуклість і увігнутість графіка функції. Крива називається опуклою (увігнутою) догори, якщо її довільна дуга лежить над (під) хордою, стягивающей цю дугу.

Достатній ознака опуклості і угнутості функції. Якщо друга похідна даної функції позитивна в інтервалі, то функція в цьому інтервалі увігнута догори; якщо ж в інтервалі (негативна), то функція опукла догори.

Точки перегину. Точка, в якій крива розташована по різні сторони своєї дотичній, називається точкою перегину. Точка перегину відокремлює опуклу частину кривої від увігнутої її частини.

Необхідний ознака існування точки перегину. У точках перегину графіка функції її друга похідна звертається в нуль.

Зауваження 1. Однак не при всякому значенні, для якого друга похідна звертається в нуль, функція має точку перегину.

Зауваження 2. Функція може мати точку перегину і в точках розриву другої похідної.

Відшукання точок перегину. Для відшукання точок перегину графіка функції необхідно:

1) обчислити другу похідну даної функції;

2) знайти ті значення в інтервалі, при яких звертається в нуль (т. Е. Вирішити рівняння) або має точку розриву;

3) визначити знак другої похідної в кожному з інтервалів. Тим самим буде з’ясовано, чи зраджує друга похідна

знак при переході через кожну з точок. Зміна знака, наприклад, в точці, вказує, що функція має точку перегину. Якщо знак не змінюється, наприклад, при переході через точку, то функція не має точки перегину. Якщо функція має точку перегину, то, визначивши значення функції в цій точці, ми знайдемо координати точки перегину.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Арифметична прогресія