Поняття послідовності

Якщо функція визначена на множині натуральних чисел N, то така функція називається нескінченною числовою послідовністю. Зазвичай числові послідовність позначають як (Xn), де n належить безлічі натуральних чисел N.

Числова послідовність може бути задана формулою. Наприклад, Xn=1 / (2*n). Таким чином ми ставимо у відповідність кожному натуральному числу n деякий певний елемент послідовності (Xn).

Якщо тепер послідовно брати n рівними 1, 2, 3, . . . . , ми отримаємо послідовність (Xn): ?, ?, 1/6, . . . , 1 / (2*n), . . .

Види послідовності
Послідовність може бути обмеженою або необмеженою, зростаючою або спадною.

Послідовність (Xn) називає обмеженою, якщо існують два числа m і M такі, що для будь-якого n належить безлічі натуральних чисел, буде виконуватися рівність m <=Xn

Послідовність (Xn), яка не є обмеженою, називається необмеженою послідовністю.

Послідовність (Xn) називається зростаючою, якщо для всіх натуральних n виконується наступна рівність X (n +1)> Xn. Іншими словами, кожен член послідовності, починаючи з другого, повинен бути більше попереднього члена.

Послідовність (Xn) називається спадною, якщо для всіх натуральних n виконується наступна рівність X (n +1) <Xn. Інакше кажучи, кожен член послідовності, починаючи з другого, повинен бути менше попереднього члена.

Приклад послідовності
Перевіримо, чи є послідовності 1 / n і (n-1) / n убутними.

Якщо послідовність спадаючий, то X (n +1) <Xn. Отже X (n +1)-Xn <0.

1 / n:

X (n +1)-Xn=1 / (n +1)-1 / n=-1 / (n*(n +1)) <0. Значить послідовність 1 / n спадна.

(N-1) / n:

X (n +1)-Xn=n / (n +1)-(n-1) / n=1 / (n*(n +1))> 0. Значить послідовність (n-1) / n зростаюча.

Посилання на основну публікацію