Ознака подільності чисел

Для зручності користування, ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 представлені в таблиці. Крім цих ознак подільності чисел, існують ознаки подільності і на інші числа.

На 2 (два) діляться всі числа, у яких останньою цифрою є 0 (нуль), 2 (два), 4 (чотири), 6 (шість), 8 (вісім). Іншими словами, якщо число закінчується на нуль, два, чотири, шість, вісім, то воно ділиться на два. Наприклад: числа 120 (сто двадцять), 52 (п’ятдесят дві), 274 (двісті сімдесят чотири) 16 (шістнадцять), 2 098 (дві тисячі дев’яносто вісім) діляться на 2 (два). Числа 101 (сто один), 13 (тринадцять), 7 565 (сім тисяч п’ятсот шістдесят п’ять), 7 (сім), 19 (дев’ятнадцять) не діляться на 2 (два), оскільки при розподілі цих чисел в залишку залишається одна 1 ( одиниця).

Якщо число ділиться на 2 (два), то його називають парним числом. Якщо ж число не ділиться на 2 (два), то таке число називають непарною. Всі парні числа закінчуються на одну з наступних цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Всі непарні числа закінчуються цифрою 1, 3, 5, 7, 9. Поняття парні і непарні числа – одне з основних понять математики. Прикладом застосування парних і непарних чисел в повсякденному житті можуть служити розкладу руху поїздів, коли поїзди відправляються тільки по парних або тільки по непарних числах.

Ознаки подільності чисел
Ознаки подільності чисел

На 3 (три) діляться числа, у яких сума цифр ділиться на 3 (три). Число 159 (сто п’ятдесят дев’ять) ділиться на 3 (три), оскільки сума його цифр
1 + 5 + 9 = 15
(П’ятнадцять) ділиться на 3 (три)
15: 3 = 5
і дає в результаті 5 (п’ять). Якщо розділити на 3 (три) узяте нами число
159: 3 = 53
вийде п’ятдесят і три.

Ознака подільності на 3 (три) поширюється і на суму цифр будь-якого числа. Перевіримо подільність на 3 числа 1 234 567 890 (один трильйон двісті тридцять чотири мільйони п’ятсот шістдесят тисяч вісімсот дев’яносто). Знаходимо суму цифр цього числа
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45
Ще раз знаходимо суму цифр для числа 45 (сорок п’ять):
4 + 5 = 9
Число 9 (дев’ять) ділиться на 3 і дає в результаті число 3. Отже, число 1 234 567 890 ділиться на 3:
1 234 567 890: 3 = 411 522 630
в результаті вийде чотири сотні одинадцять мільйонів п’ятсот двадцять дві тисячі шістсот тридцять.

Розглянемо ще один приклад. Перевіримо подільність на 3 числа 29 443 680 100 259 (двадцять дев’ять трильйонів чотири сотні сорок три мільярда шістсот вісімдесят мільйонів сто тисяч двісті п’ятдесят дев’ять). Знаходимо суму цифр:
2 + 9 + 4 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 5 + 9 = 53
Тепер знаходимо суму цифр числа 53 (п’ятдесят і три):
5 + 3 = 8
Число 8 не ділиться на число 3, отже числа 29 443 680 100 259 не може бути поділено на число 3 без залишку:
29 443 680 100 259: 3 = 9 814 560 033 419 і 2 в залишку
(Дев’ять трильйонів вісімсот чотирнадцять мільярдів дев’ятсот шістдесят мільйонів тридцять три тисячі чотири сотні дев’ятнадцять і два в залишку).
На 4 (чотири) діляться числа, які мають два останніх цифри нулі чи утворюють число, що ділиться на 4 (чотири). Спеціально для перевірки подільності чисел на 4 на окремій сторінці розміщено таблицю множення на 4 перших тридцяти натуральних чисел. На цій же сторінці наведені математичні приклади визначення подільності чисел на 4 (чотири).

Ознаки подільності цілих чисел: на 5 (п’ять) діляться числа, які закінчуються цифровий 0 (нуль) або 5 (п’ять). Число 590 (п’ятсот дев’яносто) ділиться на 5 (п’ять), оскільки воно закінчується на цифру 0 (нуль):
590: 5 = 118
в результаті поділу виходить сто, вісімнадцять.

Число 1 375 (одна тисяча триста сімдесят п’ять) так само ділиться на 5 (п’ять), так як воно закінчується цифрою 5 (п’ять):
1 375: 5 = 275
в математичному результаті ділення приватне складе двісті сімдесят п’ять.
На 6 (шість) діляться числа, якщо одночасно дотримуються ознаки подільності на 2 (два) і на 3 (три). Іншими словами, на 6 діляться всі парні числа, сума цифр яких ділиться на 3 (три). Наприклад, число 948 (дев’ятсот сорок вісім) ділиться на 6 (шість), оскільки воно є парним і сума його цифр ділиться на 3 (три):
9 + 4 + 8 = 21
Знову знаходимо суму цифр числа 21 (двадцять один):
2 + 1 = 3
В математиці розподіл взятого нами числа 948 (дев’ятсот сорок вісім) на 6 (шість) можна записати так:
948: 6 = 158
в результаті виходить число сто п’ятдесят восьмій.

На 7 (сім) діляться числа, у яких різниця між числом десятків і подвоєною цифрою одиниць поділяється на 7 (сім). Для початку розглянемо число 14 (чотирнадцять). У цьому числі 1 (один) десяток і 4 (чотири) одиниці. Перевіримо його подільність за математичними правилами, дотримуючись порядок виконання математичних дій:
1 – 4 х 2 = 1 – 8 = -7
Число -7 (мінус сім) ділиться на 7 (сім) і дає в результаті -1 (мінус одиницю). Отже, число 14 (чотирнадцять) так само ділиться на 7 (сім):
14: 7 = 2
в результаті виходить два.

Тепер розглянемо подільність числа 21 (двадцять один). Тут ми маємо 2 (два) десятка і 1 (одну) одиницю. Перевіряємо подільність цього числа на 7 (сім): 2 – 1 х 2 = 2 – 2 = 0
Число 0 (нуль) ділиться не тільки на 7 (сім), а й на все числа, і дає в результаті 0 (нуль). Таким чином, число 21 (двадцять один) ділиться на 7 (сім):
21: 7 = 3
приватна дорівнює трьом.

На закінчення розглянемо більш складний приклад ознаки подільності на 7 (сім). Перевіримо подільність числа 86 576 (сто шість тисяч п’ятсот сімдесят шість). У цьому числі 8 657 (вiсiм тисяч шістсот п’ятдесят сiм) десятків і 6 (шість) одиниць. Приступаємо до перевірки подільності цього числа на 7 (сім):
8657 – 6 х 2 = 8657 – 12 = 8645
Знову перевіряємо подільність на 7 (сім), тепер вже отриманого нами числа 8 645 (вiсiм тисяч шістсот сорок п’ять). Тепер у нас 864 (вісім шістдесят чотири) десятка і 5 (п’ять) одиниць:
864 – 5 х 2 = 864 – 10 = 854
Знову повторюємо наші дії для числа 854 (вісімсот п’ятдесят чотири), в якому 85 (восімдес’ят) десятків і 4 (чотири) одиниці:
85 – 4 х 2 = 85 – 8 = 77
В принципі, вже неозброєним оком видно, що число 77 (сімдесят сім) ділиться на 7 (сім) і в результаті виходить 11 (одинадцять). Для які не вірять зробимо останній крок, з 7 (сім’ю) десятками і 7 (сім’ю) одиницями:
7 – 7 х 2 = 7 – 14 = -7
Подібний результат ми вже розглядали вище.
Після тривалого математичного дослідження нам вдалося встановити, що число 86 576 (сто шість тисяч п’ятсот сімдесят шість) ділиться на на 7 (сім):
86576: 7 = 12368
в результаті поділу отримуємо дванадцять тисяч триста шістдесят восьмій.
На 8 (вісім) діляться числа, у яких три останні цифри нулі чи утворюють число, що ділиться на 8 (вісім). Перевірити подільність чисел на 8 можна, скориставшись таблицею множення на 8, складеної для перших ста п’ятдесяти натуральних чисел. Математична таблиця множення охоплює всі тризначні результати множення чисел на 8. Приклади визначення подільності чисел на 8 (вісім) наведені на цій же сторінці.

Посилання на основну публікацію