1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса – це метод вирішення лінійних рівнянь шляхом повного виключення невідомих. Даний метод є модифікацією методу Гаусса, тільки в разі методу Жордана-Гаусса елементарні перетворення проводяться далі.

Історія виникнення методу

Історично метод Гаусса виник досить давно. Рішення систем рівнянь подібним способом було викладено ще в стародавньому китайському математичному трактаті під назвою “Математика в дев’яти книгах”, що представляє собою розрізнене збори рішень різних прикладних математичних задач.

А частина голів батьківських цього трактату датуються 150 р до н.е.

В Європі ж першим, хто займався вивченням цього методу, був Ісаак Ньютон. Вчений вивчив багато книг з алгебри того часу і виявив, що ні в одній з них не запропоновано рішень систем рівнянь з безліччю змінних, після чого він запропонував свій спосіб вирішення.

Його робота на цю тему була опублікована в 1707 р, в цей час Ньютон вже більше не працював в Кембриджі. Після цього протягом століття метод з’явився в багатьох книгах та підручниках з алгебри.

У 1810 році відомий німецький учений і математик К. Ф. Гаусс опублікував свої доповнення до цього методу разом з іншими своїми роботами з лінійної алгебри, після чого метод з отриманням верхньої трикутної матриці став широко відомий під його ім’ям.

Потім в в кінці XIX століття геодезист і математик Жордан розробив на основі методу Гаусса свій вдосконалений варіант з отриманням діагональної матриці.

Примітно, що він зробив це практично одночасно з іншим вченим, проте, в назві вдосконаленого методу відбилося тільки ім’я геодезиста Жордана.

Практичне застосування методу Жордана-Гаусса

Метод Жордана і Гаусса використовується для вирішення систем лінійних рівнянь, а також для отримання зворотних матриць і знаходження рангу матриці. Також цей метод дуже корисний і часто застосовуємо для вирішення технічних завдань з безліччю невідомих.

Для вирішення одержуваних на основі технічних завдань систем рівнянь виділяють найбільші по модулю змінні для зменшення помилки похибки, а потім проводять почергове видалення зайвих змінних з рядків матриці.

Для вирішення технічних завдань методом Жордана-Гаусса також використовуються реалізації на різних мовах програмування, вони дозволяють отримувати більш точні значення змінних.

Пояснення суті методу Жордана-Гаусса

Зазвичай матриця, отримана за допомогою методу Жордана-Гаусса виглядає як діагональ з одиницями.

Різниця між методом Гаусса і методом Жордана-Гаусса полягає в тому, що в разі методу Гаусса необхідно привести тільки нижню частину матриці до нулів, тоді як у разі методу Жордана-Гаусса в кожному рядку матриці залишається лише один коефіцієнт при змінної.

За допомогою методу Гаусса можна знайти базисне і загальне рішення системи рівнянь, також як і за допомогою методу Жордана-Гаусса.

Базисне рішення системи рівнянь – це рішення, при якому всі вільні змінні дорівнюють нулю.

Загальне рішення системи рівнянь – це рішення, при якому основні змінні виражаються через вільні змінні.

Також методом Жордана-Гаусса виробляють отримання зворотних матриць.

Отримання зворотного матриці методом Жордана-Гаусса

Зворотній матриця – це така матриця, при множенні на яку з вихідної матриці виходить одинична матриця. Зворотні матриці існують тільки для квадратних і невироджених матриць.

Суть методу знаходження оберненої матриці полягає в тому, щоб записати поруч вихідну матрицю і одиничну, і потім, виробляти елементарні перетворення за методом Жордана-Гаусса одночасно до двох матриць.

В результаті ми отримаємо діагональну одиничну матрицю з вихідної, а поруч з нею буде її зворотна матриця, отримана з одиничної матриці.

Щоб вирішити СЛАР методом Жордана-Гаусса, до матриці можливо застосувати ті ж елементарні перетворення, що і в разі рішення методом Гаусса, а саме:

  • множення кожного рядка на константу, відмінну від нуля;
  • віднімання або додавання двох будь-яких рядків;
  • перестановка будь-яких двох рядків місцями;
  • видалення рядків, що складаються з одних нулів;
  • видалення зайвих рядків, пропорційних один одному.

Відповідно, щоб вирішити систему лінійних рівнянь методом Гаусса-Жордана, необхідно виконати ряд перетворень над получающейся після застосування методу Гаусса матрицею.

Загальний алгоритм розв’язання системи рівнянь методом Жордана-Гаусса

Вибирають рядок, в якій перший елемент має нульове значення максимально наближене до одиниці і ставлять її на місце першого рядка. Такий елемент називають також “що дозволяє”

Призводять значення верхньої лівої комірки до $ 1 $ за допомогою розподілу або множення всієї верхнього рядка.

З решти рядків віднімають верхній рядок, помножену на коефіцієнт, що стоїть на першому місці в рядку, над якою ведуться перетворення.

Далі теж саме проробляють необхідну кількість разів з метою отримання трикутної матриці, в якій всі елементи нижче головної діагоналі, що проходить зліва направо зверху вниз, дорівнюють нулю. Послідовність дій, описаних вище, називається прямим ходом перетворення матриці.

Після отримання трикутної матриці потім віднімають останній рядок з передостанньої, помноживши останній рядок на елемент з передостанній. На даному етапі в останній і передостанній рядку залишається по одному коефіцієнту. Цю операцію повторюють поки не дійдуть до верху матриці, отримавши діагональну матрицю. Ці дії носять назву зворотного ходу перетворення матриці.

ПОДІЛИТИСЯ:

Дивіться також:
Як записують функцію