Критичні точки функції

Графік функції y=x– 3*x2. Розглянемо деякий інтервал, що містить точку х = 0, наприклад від -1 до 1. Такий інтервал ще називають околицею точки х = 0.

В цих межах функція y = x– 3*x2 приймає найбільше значення саме в точці х = 0.

Максимум і мінімум функції

У такому випадку, точку х=0 називають точкою максимуму функції. За аналогією з цим, точку х=2 називають точкою мінімуму функції y = x– 3*x2. Тому що існує така околиця цієї точки, в якій значення в цій точці буде мінімальним серед всіх інших значень з цієї околиці.

Точкою максимуму функції f (x) називається точка x0, за умови, що існує околиця точки х0 така, що для всіх х не дорівнює х0 з цієї околиці, виконується нерівність f (x) < f (x0).

Точкою мінімуму функції f (x) називається точка x0, за умови, що існує околиця точки х0 така, що для всіх х не дорівнює х0 з цієї околиці, виконується нерівність f (x) > f (x0).

У точках максимуму і мінімуму функцій значення похідної функції дорівнює нулю. Але це не достатня умова для існування в точці максимуму або мінімуму функції.

Наприклад, функція y = x3 в точці х = 0 має похідну рівну нулю. Але точка х=0 не є точкою мінімуму або максимуму функції. Як відомо функція y=x3 зростає на числовій осі.

Таким чином, точки мінімуму і максимуму завжди будуть перебувати серед кореня рівняння f’ (x)=0. Але не всі корені цього рівняння будуть точками максимуму або мінімуму.

Стаціонарні та критичні точки

Точки, в яких значення похідної функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками. Точки максимуму або мінімуму можуть матися і в точках, в яких похідної у функції взагалі не існує. Наприклад, у = |x| в точці х = 0 має мінімум, але похідної в цій точці не існує. Ця точка буде критичною точкою функції.

Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна дорівнює нулю, або похідної в цій точці не існує, тобто функція в цій точці недиференційована. Для того щоб знайти максимум або мінімум функції необхідне виконання достатньої умови.

Нехай f (x) деяка диференційована на інтервалі (a; b) функція. Точка х0 належить цьому інтервалу і f ‘(x0)=0. тоді:

  1. Якщо при переході через стаціонарну точку х0 функція f (x) і її похідна змінює знак, з «плюса» на «мінус», тоді точка х0 є точкою максимуму функції;
  2. Якщо при переході через стаціонарну точку х0 функція f (x) і її похідна змінює знак, з «мінуса» на «плюс», тоді точка х0 є точкою мінімуму функції.
Посилання на основну публікацію