Формула вершини параболи

✅ Зазвичай формулу координати x вершини параболи використовують, коли мають справу з квадратичною функцією.

Квадратична функція має вигляд:

y = ax2 + bx + c.

Її графік – це парабола з вершиною, координати якої визначаються за формулами:

Формули вершини параболи квадратичної функції

Однак формулу координати y знати і використовувати не обов’язково. Зазвичай простіше підставити знайдене значення x в саму квадратичну функцію і знайти звідти y.

Наприклад, якщо дана функція y = 2x2 – 4x + 5, то координата x її вершини буде дорівнює:

x = – (-4/(2 × 2)) = 1

Координату ж y обчислимо, підставивши знайдений x в саму функцію:

y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3

Таким чином, вершина графіка функції y = 2x2 – 4x + 5 знаходиться в точці з координатами (1, 3).

В іншій параболі квадратичної функції виду y = ax2 + bx + c така ж як функції виду y = ax2.

Відмінність лише в зсуві вершини в порівнянні з функцією y = ax2. Так, в наведеному вище прикладі (y = 2x2 – 4x + 5) парабола буде за формою і напрямком гілок такою ж, як для функції y = 2x2. Різниця лише в координатах вершин парабол.

Формули вершини параболи виходять при перетворенні квадратичної функції до виду

y = f (x + l) + m.

Робиться це шляхом виділення повного квадрата. Як відомо функції виду y = f (x + l) + m відрізняються від функцій y = f (x) зрушенням з графіків по осі x на -l і по осі y на m.

Саме l в перетвореній квадратичній функції виявляється рівним -b/2a, а m = (4ac – b2)/4a.

Тобто l і m – це координати x0 і y0 відповідно.

Доводиться це застосуванням методу виділення повного квадрата до квадратного тричлену загального вигляду ax2 + bx + c. При цьому виконуються наступні перетворення:

  • Об’єднаємо перші два члени многочлена: y = (ax2 + bx) + c;
  • Винесемо коефіцієнт a за дужку, при цьому b розділиться на a: 
  • Уявімо, що у нас є квадрат суми, в якому x одна зі складових, а з виразу в дужках треба отримати його повний квадрат суми. Одночлен (b/a) x помножимо на 2 і розділимо на 2 одночасно, отримаємо .
  • Виділимо квадрат суми: Перетворення квадратичної функції 
  • Помножимо на a: 
  • Приведемо до спільного знаменника вільні члени: 
  • Поміняємо знак: 

Таким чином, ми привели функцію y = ax2 + bx + c до виду y = a (x + l)2 + m, що відповідає функції

y = f (x + l) + m,

де

  • f (x) = ax2.

А як будувати графіки останньої вже відомо.

Посилання на основну публікацію