✅ Зазвичай формулу координати x вершини параболи використовують, коли мають справу з квадратичною функцією.
Квадратична функція має вигляд:
y = ax2 + bx + c.
Її графік – це парабола з вершиною, координати якої визначаються за формулами:
Формули вершини параболи квадратичної функції
Однак формулу координати y знати і використовувати не обов’язково. Зазвичай простіше підставити знайдене значення x в саму квадратичну функцію і знайти звідти y.
Наприклад, якщо дана функція y = 2x2 – 4x + 5, то координата x її вершини буде дорівнює:
x = – (-4/(2 × 2)) = 1
Координату ж y обчислимо, підставивши знайдений x в саму функцію:
y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3
Таким чином, вершина графіка функції y = 2x2 – 4x + 5 знаходиться в точці з координатами (1, 3).
В іншій параболі квадратичної функції виду y = ax2 + bx + c така ж як функції виду y = ax2.
Відмінність лише в зсуві вершини в порівнянні з функцією y = ax2. Так, в наведеному вище прикладі (y = 2x2 – 4x + 5) парабола буде за формою і напрямком гілок такою ж, як для функції y = 2x2. Різниця лише в координатах вершин парабол.
Формули вершини параболи виходять при перетворенні квадратичної функції до виду
y = f (x + l) + m.
Робиться це шляхом виділення повного квадрата. Як відомо функції виду y = f (x + l) + m відрізняються від функцій y = f (x) зрушенням з графіків по осі x на -l і по осі y на m.
Саме l в перетвореній квадратичній функції виявляється рівним -b/2a, а m = (4ac – b2)/4a.
Тобто l і m – це координати x0 і y0 відповідно.
Доводиться це застосуванням методу виділення повного квадрата до квадратного тричлену загального вигляду ax2 + bx + c. При цьому виконуються наступні перетворення:
- Об’єднаємо перші два члени многочлена: y = (ax2 + bx) + c;
- Винесемо коефіцієнт a за дужку, при цьому b розділиться на a:
- Уявімо, що у нас є квадрат суми, в якому x одна зі складових, а з виразу в дужках треба отримати його повний квадрат суми. Одночлен (b/a) x помножимо на 2 і розділимо на 2 одночасно, отримаємо .
- Виділимо квадрат суми:
- Помножимо на a:
- Приведемо до спільного знаменника вільні члени:
- Поміняємо знак:
Таким чином, ми привели функцію y = ax2 + bx + c до виду y = a (x + l)2 + m, що відповідає функції
y = f (x + l) + m,
де
- f (x) = ax2.
А як будувати графіки останньої вже відомо.