Довести, що немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2

Доказ ведуть від протилежного.

Припустимо, що існує якесь дробове число, при зведенні якого в квадрат можна отримати два: (p / q) 2 = 2. При цьому ця дріб нескоротного (т. Е. Все скорочення вже виконані).

Запишемо рівняння так: p2 / q2 = 2.

Помножимо обидві частини рівнянь на q2, отримаємо: p2 = 2q2.

Вираз 2q2 в будь-якому випадку має бути парним, т. К. Виконується множення на 2.

Значить, p2 теж парне.

Але відомо, що квадрат непарного числа дає непарне число (наприклад, 52 = 25), а квадрат парного – парне (42 = 16). Тому p повинно мати парне значення.

Якщо p парне, то його можна представити як p = 2k. Тоді отримаємо: (2k) 2 = 2q2. Або 4k2 = 2q2.

Скоротимо отримане рівняння і отримаємо: 2k2 = q2.

Оскільки в лівій частині рівняння результат буде парним (т. К. Відбувається множення на 2), то і q повинно бути парним, щоб його квадрат був парним.

Але згадаємо,

раніше було доведено, що і p парне,
спочатку передбачалося, що взята дріб p / q нескоротного.
Якщо ж і p, і q парні числа, то утворену ними дріб можна скоротити на 2. Т. е. Приходять до суперечності з умовою і на цій підставі роблять висновок, що немає раціонального дробу, квадрат якої може дорівнювати 2.

Посилання на основну публікацію