1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Дотична до графіка функції

Дотична до графіка функції

 На малюнку зображена деяка функція y=f (x), яка диференційована в точці a. Відзначена точка М з координатами (а; f (a)). Через довільну точку Р (a + fx; f (a + fx)) графіка проведена січна МР.

дотична до графіку функцій

Якщо тепер точку Р зрушувати за графіком до точки М, то пряма МР буде повертатися навколо точки М. При цьому ∆х буде прагнути до нуля. Звідси можна сформулювати визначення дотичної до графіка функції.

Дотична до графіка функції

Дотична до графіка функції являється граничним положенням січної при прагненні збільшення аргументу до нуля. Слід розуміти, що існування похідної функції f в точці х0, означає, що в цій точці графіка існує дотична до нього.

При цьому кутовий коефіцієнт дотичної буде дорівнює похідній цієї функції в цій точці f ‘(x0). У цьому полягає геометричний зміст похідної. Дотична до графіка диференційованою в точці х0 функції f – це деяка пряма, що проходить через точку (x0; f (x0)) і що має кутовий коефіцієнт f ‘(x0).

Рівняння дотичної

Спробуємо отримати рівняння дотичної до графіка деякої функції f в точці А (x0; f (x0)). Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має наступний вигляд:

y=k*x + b.

Так як у нас кутовий коефіцієнт дорівнює похідній f ‘(x0), то рівняння прийме наступний вигляд: y=f ‘ (x0)*x + b.

Тепер обчислимо значення b. Для цього використовуємо той факт, що функція проходить через точку А.

f (x0)=f ‘(x0)*x0 + b, звідси висловлюємо b і отримаємо b=f (x0) – f’ (x0)*x0.

Підставляємо отримане значення в рівняння дотичної:

  • y=f ‘(x0)*x + b=f ‘ (x0)*x + f (x0)-f ‘(x0)*x0=f (x0) + f ‘ (x0)*(x-x0).
  • y=f (x0) + f ‘(x0)*(x-x0).

Розглянемо наступний приклад: знайти рівняння дотичної до графіка функції f (x)=x3-2*x2 + 1 в точці х=2.

  • х0=2.
  • f (x0)=f (2)=22-2*22 + 1=1.
  • f ‘ (x)=3*x2-4*x.
  • f ‘(x0)=f ‘ (2)=3*22-4*2=4.
  • Підставимо отримані значення у формулу дотичної, отримаємо: y=1 + 4*(x-2). Розкривши дужки і привівши подібні доданки отримаємо: y=4*x-7.

Відповідь: y=4*x-7.

Загальна схема складання рівняння дотичної до графіка функції y=f (x):

  • Визначити х0.
  • Обчислити f (x0).
  • Обчислити f ‘ (x)
  • Обчислити f ‘(x0)
  • Підставити отримані значення в рівняння дотичної y=f (x0) + f ‘(x0)*(x-x0).
ПОДІЛИТИСЯ: