Докази тотожностей

Доказ тотожностей. У математиці існує безліч понять. Одне з них тотожність.

Тотожністю називають рівність, яке виконується при всіх значеннях змінних, які в нього входять.
Деякі тотожності ми вже знаємо. Наприклад, всі формули скороченого множення є тотожністю.

Довести тотожність-це значить встановити, що для будь-якого допустимого значення змінні його ліва частина дорівнює правій частині.

В алгебрі існує кілька різних способів докази тотожностей.

Способи докази тотожностей
Виконати рівносильні перетворення лівій частині тотожності. Якщо в результаті отримаємо праву частину, тоді тотожність вважається доведеним.
Виконати рівносильні перетворення правій частині тотожності. Якщо в результаті отримаємо ліву частину, тоді тотожність вважається доведеним.
Виконати рівносильні перетворення лівій і правій частині тотожності. Якщо в результаті отримаємо однаковий результат, тоді тотожність вважається доведеним.
З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину. Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеним.
З лівої частини тотожності віднімають праву частину. Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеним.
Слід так само пам’ятати, що тотожність справедливо лише для допустимих значень змінних.

Як бачите способів достатньо багато. Який спосіб вибрати в даному конкретному випадку, залежить від тотожності, яке вам необхідно довести. У міру того, як ви будете доводити різні тотожності, прийде й досвід у виборі способу докази.

Розглянемо кілька простих прикладів
Приклад 1.

Доведіть тотожність x*(a + b) + a*(bx)=b*(a + x).

Рішення.

Так як у правій частині невелике вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

Маємо,

x*(a + b) + a*(b-x)=x*a + x*b + a*b-a*x.
Наведемо подібні доданки і винесемо загальний множник за дужку.

x*a + x*b + a*b-a*x=x*b + a*b=b*(a + x).
Отримали що ліва частина після перетворень, стала такою ж як і права частина. Отже, дане рівність є тотожністю.

Приклад 2.

Доведіть тотожність a ^ 2 + 7*a + 10=(a +5)*(a +2).

Рішення.

У даному прикладі можна поступити наступним способом. Розкриємо дужки в правій частині рівності.

Отримаємо,

(A +5)*(a +2)=(a ^ 2) +5*a +2*a +10=a ^ 2 +7*a +10.
Бачимо, що після перетворень, права частина рівності стала такою ж як і ліва частина рівності. Отже, дане рівність є тотожністю.

Посилання на основну публікацію