✅Доказ нерівності Коші

Нерівність Коші було доведено французьким математиком Огюстом Коші в першій половині XIX століття. У скороченому вигляді нерівність Коші стверджує, що середнє арифметичне невід’ємних чисел не менше їх середнього геометричного.

У повному варіанті в нерівність Коші також включаються середнє гармонійне і середнє квадратичне.

Середнє арифметичне – це сума заданої кількості чисел, поділена на кількість чисел:

1 + x2 + x3 + … + xn)/n

Середнє геометричне знаходиться як добування кореня в ступеня кількості чисел, де підкорінний вираз – це добуток цих чисел:

n√ (x1 * x2 * x3 * … * xn)

Таким чином, нерівність Коші стверджує, що

1 + x2 + x3 + … + xn) / n ≥ n√ (x1 * x2 * x3 * … * xn)

Для його доказу спростимо вирази, уявивши, що знаходимо середнє арифметичне і середнє геометричне тільки двох чисел: a і b. Доказ нерівності для двох позитивних чисел буде вірно і для безлічі позитивних чисел.

(A + b) / 2 ≥ √ab

В даному випадку витягується квадратний корінь, оскільки знаходиться середнє геометричне тільки двох чисел.

З властивостей числових нерівностей відомо, що якщо k – m в результаті дає позитивне число, то k> m; якщо числа однакові, то k = m. Значить, якщо довести, що різниця середнього арифметичного і середнього геометричного є позитивне число (або рівне нулю), то значить, буде доведено й саме нерівність Коші.

Віднімемо з середнього арифметичного двох позитивних чисел їх середнє геометричне:

(A + b) / 2 – √ab

Наведемо до спільного знаменника:

  • (A + b) / 2 – 2√ab / 2
  • (A + b – 2√ab) / 2

Многочлен a + b – 2√ab – це квадрат різниці (√a – √b)2. Отримуємо:

(√a – √b) 2/2

Квадрат будь-якого числа є число позитивне або рівне нулю (якщо a = b). Значить, в чисельнику буде позитивне значення. Знаменник дробу також позитивний. Значить, при вирахуванні з середнього арифметичного середнього геометричного вийшло позитивне значення. Таким чином, (a + b) / 2 ≥ √ab, що потрібно було довести.

Посилання на основну публікацію