Нерівність Коші було доведено французьким математиком Огюстом Коші в першій половині XIX століття. У скороченому вигляді нерівність Коші стверджує, що середнє арифметичне невід’ємних чисел не менше їх середнього геометричного.
У повному варіанті в нерівність Коші також включаються середнє гармонійне і середнє квадратичне.
Середнє арифметичне – це сума заданої кількості чисел, поділена на кількість чисел:
(х1 + x2 + x3 + … + xn)/n
Середнє геометричне знаходиться як добування кореня в ступеня кількості чисел, де підкорінний вираз – це добуток цих чисел:
n√ (x1 * x2 * x3 * … * xn)
Таким чином, нерівність Коші стверджує, що
(х1 + x2 + x3 + … + xn) / n ≥ n√ (x1 * x2 * x3 * … * xn)
Для його доказу спростимо вирази, уявивши, що знаходимо середнє арифметичне і середнє геометричне тільки двох чисел: a і b. Доказ нерівності для двох позитивних чисел буде вірно і для безлічі позитивних чисел.
(A + b) / 2 ≥ √ab
В даному випадку витягується квадратний корінь, оскільки знаходиться середнє геометричне тільки двох чисел.
З властивостей числових нерівностей відомо, що якщо k – m в результаті дає позитивне число, то k> m; якщо числа однакові, то k = m. Значить, якщо довести, що різниця середнього арифметичного і середнього геометричного є позитивне число (або рівне нулю), то значить, буде доведено й саме нерівність Коші.
Віднімемо з середнього арифметичного двох позитивних чисел їх середнє геометричне:
(A + b) / 2 – √ab
Наведемо до спільного знаменника:
- (A + b) / 2 – 2√ab / 2
- (A + b – 2√ab) / 2
Многочлен a + b – 2√ab – це квадрат різниці (√a – √b)2. Отримуємо:
(√a – √b) 2/2
Квадрат будь-якого числа є число позитивне або рівне нулю (якщо a = b). Значить, в чисельнику буде позитивне значення. Знаменник дробу також позитивний. Значить, при вирахуванні з середнього арифметичного середнього геометричного вийшло позитивне значення. Таким чином, (a + b) / 2 ≥ √ab, що потрібно було довести.