1. Моя освіта – реферати, конспекти, доповіді
  2. Алгебра
  3. Арифметичні операції

Арифметичні операції

Додавання – це операція знаходження суми двох або декількох чисел, де під сумою розуміється загальна кількість одиниць, що містяться в розглянутих числах разом. Ці числа називаються складовими. Наприклад: 5 + 6 = 11, де 5 і 6 – доданки, 11 – сума.

Віднімання – це дія, зворотне до додавання, так як це операція знаходження одного з доданків за сумою і іншому доданку. Відняти з одного числа (зменшуваного) інше (від’ємник) – значить знайти таке третє число (різниця), яке при складання з від’ємником дає зменшуване: 11 – 6 = 5. Тут 11 – зменшуване, 6 – від’ємник, 5 – різниця.

Множення. Помножити одне число a (множимое) на інше ціле число b (множник) – значить повторити множимое a в якості доданка b раз. Результат множення називається твором. Наприклад: 2×4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

Поділ є дією, зворотним до множення. Розділимо одне число (ділене) на інше (дільник) і знайдемо таке третє число (приватне), яке при множенні на дільник дає ділене: 8: 4 = 2.

Піднесення до степеня. Звести число (підстава ступеня) на всю ступінь (показник ступеня) – значить повторити його співмножником стільки разів, який показник ступеня. Результат операції називається ступенем. Наприклад: 24 = 2x2x2x2 = 16.

Витяг кореня є дією, зворотним до зведення в ступінь, так як це операція знаходження підстави ступеня за ступенем і її показником. Витягти корінь k-го ступеня (k – показник кореня) з числа a (подкоренное число) – значить знайти третє число, k-ий степінь якого дорівнює а. Результат називається коренем. наприклад:

Vl6 = 2.

Додавання і віднімання, множення і ділення, піднесення до степеня і добування кореня є попарно взаємно-зворотними операціями.

Результат виконання декількох операцій залежить від порядку дій. Розглянемо наступний приклад: 10 – 6 + 4 = 8, але якщо спочатку скласти 6 і 4, а потім відняти отриманий результат з 10, то отримаємо 0. Таким чином, можна зробити наступний висновок: для отримання правильного результату повинен бути встановлений певний порядок дій . Для того щоб вказати, в якому порядку повинні виконуватися дії, користуються дужками. Якщо дужки відсутні, дії виконуються в наступному порядку:

1) зведення в ступінь і добування кореня (у порядку їх слідування);

2) множення і ділення (у порядку їх слідування);

3) додавання і віднімання (у порядку їх слідування).

При наявності дужок спочатку виконуються дії в дужках у зазначеному вище порядку, а потім всі інші дії поза дужками із дотриманням зазначеного вище порядку. Закони додавання і множення

Переместительное (комутативними) закон додавання:

m + n = n + m.

Переместительное (комутативними) закон множення:

mxn = nxm.

Сполучний (асоціативний) закон додавання:

(m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k. Сполучний (асоціативний) закон множення:

(mxn) xk = mx (nxk) = mxnxk. Розподільний (дистрибутивний) закон множення відносно додавання:

(m + n) xk = mxk + nxk. Ознаки подільності:

1) на 2: якщо остання цифра числа – нуль або ділиться на 2. Числа, що діляться на два, називаються парними, які не діляться на два – непарними;

2) на 4: якщо дві останні цифри числа – нулі або утворюють число, яке ділиться на 4;

3) на 8: якщо три останні цифри числа – нулі або утворюють число, яке ділиться на 8;

4) на 3 і 9: число ділиться на 3, якщо його сума цифр ділиться на 3. Число ділиться на 9, якщо його сума цифр ділиться на 9;

5) на 6: якщо число ділиться на 2 і на 3;

6) на 5: число ділиться на 5, якщо його остання цифра – нуль або 5;

7) на 25: якщо дві останні цифри числа – нулі або число, яке ділиться на 25;

8) на 10: якщо остання цифра числа – нуль;

9) на 100: якщо дві останні цифри – нулі;

10) на 11: це тільки ті числа, у яких сума цифр, що стоять на непарних місцях, або дорівнює сумі цифр, що стоять на парних місцях, або відрізняється від неї на число, що ділиться на 11.

Всі цілі числа (крім 0 і 1) мають мінімум два подільника: 1 і самого себе. Числа, які не мають інших дільників, називаються простими числами. Числа, що мають інші подільники, називаються складовими (або складними) числами.

Спільним дільником кількох чисел називається число, яке є дільником кожного з них. Наприклад, розглянемо числа 36, 42, 72. Серед усіх спільних дільників завжди є найбільший. Щоб знайти найбільший спільний дільник (НСД) декількох чисел необхідно виконати наступні дії:

1) подати кожне число як добуток його простих множників, в нашому випадку:

36 = 2x2x3x3;

42 = 2x3x7;

72 = 2x2x2x3x3;

2) записати ступеня всіх простих множників: 36 = 22 x 32;

42 = 21x31x71; 72 = 23 x 32;

3) виписати всі загальні дільники (множники) цих чисел: 2 і 3;

4) вибрати найменший ступінь кожного з них, що зустрілася у всіх творах: 21 і 31;

5) перемножити ці ступені: 2’x3 ‘= 6.

Таким чином, числа 36, 42 і 72 мають спільні дільники 2, 3 і 6. Найбільший спільний дільник (НСД) в цьому випадку дорівнює 6.

Спільним кратним декількох чисел називається число, яке ділиться на кожне з цих чисел. Серед всіх загальних кратних завжди є найменше (НОК). Розглянемо числа 18, 27 і 45. Щоб знайти найменше спільне кратне (НОК) кількох чисел:

1) подати кожне число як добуток його простих множників, наприклад:

18 = 2x3x3; 27 = 3x3x3; 45 = 3x3x5;

2) записати ступеня всіх простих множників: 18 = 2’x32;

27 = 33; 45 = 32×5 ‘;

3) виписати всі прості дільники (множники) кожного з цих чисел: 2, 3, 5;

4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрілася у всіх разложениях цих чисел: 21, 33, 51;

5) перемножити ці ступені: 21x33x51 = 270. Таким чином, 270 – НОК.

ПОДІЛИТИСЯ: