Як порахувати нескінченність?

Всі ми знаємо, як порахувати предмети в кінцевому безлічі: безліч книг на полиці, безліч людей в кімнаті … Але як бути з нескінченними множинами? Як дізнатися, де точок більше – на прямий або на площині? Яких чисел більше – натуральних, цілих, раціональних або дійсних? Або, можливо, їх однакову кількість? Інтуїція нам підказує, що якщо одне безліч містить інше, то в першому елементів більше. Але коли мова йде про нескінченність, інтуїція часто дає збої. На нескінченності може вийти так, що частина дорівнює цілому. Найпростіший приклад. Уявімо собі промінь ОА (див. Малюнок). На ньому міститься безліч точок. Тепер змістимо весь цей промінь трохи вправо. Вийде новий промінь O’A. Початок цього променя змістилося щодо початку променя OA, а нескінченний кінець збігається. Кожна точка зміститься на один і той же відстань, значить, кількість точок залишилося колишнім. З іншого боку, промінь OA повністю містить всі точки променя O’A і, крім того, ще відрізок OO ‘. Виходить, що промінь OA більше ніж O’A? Але як одному безліч може бути одночасно одно і більше іншого? ..

З нескінченністю пов’язано безліч «парадоксів», тобто випадків, коли наша інтуїція виявляється безсила. Недарма, один школяр якось сказав: «Нескінченність – це місце, де відбувається те, чого не буває». Але як же вирішити дану конкретну ситуацію? Ясно, що оцінювати кількість елементів в нескінченних множинах числами вже не вийде. Інтуїтивні уявлення про те, що одне безліч більше, якщо воно містить в собі інше, теж не мають сенсу. Потрібно придумати щось більш універсальне. І це щось отримало назву потужності безлічі. Що ж таке потужність безлічі, і як її визначити? Для кінцевих множин все просто: потужність – просто число, яке дорівнює кількості елементів множини. Але як порівняти кількості елементів нескінченних множин? Виявляється, і тут особливих складнощів немає. Потрібно взяти два числа й спробувати знайти відповідність між елементами цих множин. Якщо вийде знайти таку відповідність, що кожному елементу першої множини буде відповідати елемент другого, а кожному елементу другого – елемент першого, значить, ці безлічі мають одну потужність, або, грубо кажучи, у них однакова кількість елементів. Якщо нам вдасться довести, що як би ми не вправлялися, такої відповідності знайти не вдасться, і в одному з множин завжди можна знайти елементи, для яких не знайдеться відповідності в іншій безлічі, значить, перше безліч більше.

На прикладі кінцевих множин все це виглядає по-дитячому примітивно. Припустимо, у нас є три чашки і три блюдця. Можна поставити на кожне блюдце по чашці. Вийде, що у нас зайнято кожне блюдце і кожна чашка, таким чином кількість блюдець і чашок одно. Якби у нас було чотири блюдця або чотири чашки замість трьох, вийшло б, що одне блюдце або одна чашка завжди б мали свободу, а значить, їх кількості неоднакові.

Як бачите, коли мова йде про кінцевих множинах, все дуже примітивно, буквально на рівні дитячого садка. Але коли ми переходимо до нескінченних множин, все стає набагато складніше і цікавіше. Справа в тому, що для кінцевих множин результат не буде залежати від того, яким чином ми будемо шукати відповідності між елементами множин. Нам все одно, на яке блюдце яку чашку ми поставимо: якщо чашок і блюдець буде однакова кількість, як би ми їх не розставляли, на кожну чашку доведеться рівно одне блюдце, а на кожне блюдце – одна чашка. Але якщо уявити собі, що чашок і блюдець буде нескінченна кількість, то може вийде так, що при одному способі розстановки, все блюдця зайняті, а чашки ще залишилися, а при іншому – навпаки. Важливо знайти хоча б одне взаємно однозначна відповідність, якщо воно існує, а якщо не існує, показати, що для будь-якого, довільно обраного відповідності в одному з множин будуть існувати зайві елементи.

Цікаво, що таким чином з’ясували багато цікавих фактів. Наприклад, що цілих чисел рівно стільки ж, скільки і натуральних. І навіть більше: раціональних чисел стільки ж, скільки і натуральних, а ось дійсних вже більше.

Потужність безлічі натуральних чисел ще називається потужністю рахункового безлічі, а все безлічі такої потужності – рахунковими множинами. Це мінімальна потужність, якою може володіти безліч. Всі безлічі більшої потужності називаються незліченні. У чому причина такої назви? Справа в тому, що елементи рахункових множин можна, як би, порахувати. Ви запитаєте, як же порахувати нескінченну кількість. Зрозуміло, звичайним способом це зробити не вийде, оскільки нам не вистачить на це всього життя. Але тут нам знову допоможе аналогія. Згадаймо, як ми вважаємо звичайні предмети: тикаємо в кожен предмет пальцем і говоримо про себе: «Раз, два, три …» Таким чином ми кожного предмета зіставляємо якесь натуральне число, а загальне число предметів дорівнюватиме останньому числу.

����¯�¿�½���¯���¿���½����¯�¿�½������°����¯�¿�½������³����¯�¿�½���¯���¿���½����¯�¿�½���¯���¿���½����¯�¿�½������·����¯�¿�½������º����¯�¿�½������°...
ПОДІЛИТИСЯ: